Fläch.inhalt eines Schaubildes < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | berechnen sie die fläche welche das schaubild von f mit der x-achse einschließt
[mm] f(x)=4-x^2 [/mm] |
ich habe diese frage noch in keinem anderen forum gestellt
hallöchen,
ich krieg die intervalle ja über die nullstellen, dh. [mm] 0=4-x^2 [/mm] ...
aber dann kommt ja nur eine zahl raus und zwar 2. ich brauch ja aber noch eine. ist das dann wie bei der pq-formel, dass ich dieselbe zahl mit nem minus davor als zweite zahl habe? also in diesem fall stimmts ja weil
[mm] 0=4-x^2
[/mm]
[mm] 4=x^2
[/mm]
x=2
und bei [mm] x^2 [/mm] kann man ja auch -2 für x einsetzen und es kommt vier raus, aber gilt das immer? und was wenn ich zwei nullstellen habe (zb durch pq-formel)? dann hätte ich ja theoretisch 4 intervalle ( immer noch dieselbe zahl mit vzw)?
danke und grüßle
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Hallo,
am besten ist wohl, wenn du immer die p/q-Formel benutzt, dann wirst du nicht verwirrt. Denn eine quadratische Gleichung hat immer zwei Nullstellen, die zwar manchmal in eine zusammen fallen und auch nicht reell (aber dann sind es beide) sein können, aber es bleiben zwei Nullstellen.
Deine Funktion in die pq-Form gebracht und Null gesetzt ergibt:
[mm] 0=x^2+0x-4
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{\frac{0}{4}+4}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\pm2
[/mm]
Dass du einfach ein anderes Vorzeichen davor setzt klappt nur, wenn die quadratische Funktion ihren Scheitelpunkt bei x=0 hat.
Hoffe, dich verwirrt das nicht noch mehr...
Jedenfalls musst du nur von -2 bis 2 integrieren.
Viel Erfolg noch,
Roland.
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| Aufgabe | [mm] f(x)=4x^2-x^4
[/mm]
dasselbe |
so, also erstmal vielen dank, ja, das hat mir was gebracht und nein, es hat mcih nicht verwirrt :)
aber die aufgabe... klammer ich dann einfach solange das x aus bis ich [mm] x^2-4 [/mm] habe? dann wäre das ja wieder genau die selbe aufgabe wie die letzte. kann das stimmen? oder darf ich das x gar nicht tausendmal ausklammern?
danke,
verzweiflung
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Hallo,
wie schon vorher musst du auch hier die Nullstellen bestimmen. Also die Funktion gleich Null setzen:
[mm] 0=4x^2-x^4
[/mm]
Nun kannst du [mm] \(x^2\) [/mm] ausklammern:
[mm] 0=x^2\cdot (4-x^2)
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Daraus bestimmen wir unsere ersten Nullstellen:
[mm] x_{1,2}=0
[/mm]
Die Gleichung also nach diesem Sonderfall noch durch [mm] \(x^2\) [/mm] geteilt ergibt:
[mm] 0=4-x^2
[/mm]
Davon wieder Nullstellen bestimmen und ja, es ist das gleiche wie vorhin. Doch nein, man kann nicht beliebig oft ausklammern - macht ja irgendwann keinen Sinn mehr.
Im Allgemeinen Fall muss man natürlich darauf achten, dass zwischen den Nullstellen immer positive Bereiche unterm Integral stehen. Denn es ist ja die Fläche gesucht, die eingeschlossen wird.
Diesmal ist alles positiv und du kannst dein Integral wie zuvor von -2 bis 2 ausrechnen.
Viel Erfolg noch,
Roland.
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Hallo verzweiflung,
> [mm]f(x)=4x^2-x^4[/mm]
>
> dasselbe
> so, also erstmal vielen dank, ja, das hat mir was gebracht
> und nein, es hat mcih nicht verwirrt :)
> aber die aufgabe... klammer ich dann einfach solange das x
> aus bis ich [mm]x^2-4[/mm] habe? dann wäre das ja wieder genau die
> selbe aufgabe wie die letzte. kann das stimmen? oder darf
> ich das x gar nicht tausendmal ausklammern?
> danke,
> verzweiflung
Roland schrieb:
wie schon vorher musst du auch hier die Nullstellen bestimmen. Also die Funktion gleich Null setzen:
$ [mm] 0=4x^2-x^4 [/mm] $
Nun kannst du $ [mm] \(x^2\) [/mm] $ ausklammern:
$ [mm] 0=x^2\cdot (4-x^2) [/mm] $
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Daraus bestimmen wir unsere ersten Nullstellen:
$ [mm] x_{1,2}=0 [/mm] $
Die Gleichung also nach diesem Sonderfall noch durch $ [mm] \(x^2\) [/mm] $ geteilt ergibt: (**)
$ [mm] 0=4-x^2 [/mm] $
--------- Ende Zitat ------
(**) Durch x sollte man niemals teilen, wenn man noch nicht weiß, ob es nicht auch x=0 sein könnte (was hier der Fall ist!)
Roland führt ja schon den Satz vom  Nullprodukt an:
[mm] 0=4x^2-x^4=x^2(4-x^2)=x*x*(x-2)(x+2) [/mm] das ist das klassische Faktorisieren einer Summe:
man zerlegt die Summe in Linearfaktoren und untersucht dann die einzelnen Faktoren:
x=0 [mm] \vee [/mm] x=0 [mm] \vee [/mm] x=2 [mm] \vee [/mm] x=-2
Da man bei einer Funktion 4. Grades maximal 4 Nullstellen erwarten kann, hast du alle gefunden!
Gruß informix
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oh, ist dich nicht dieselbe aufgabe, aber trotzdem, wie ist das: kann ich so oft ausklammern wie ich will?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mo 09.11.2009 | | Autor: | informix |
Hallo pi-roland,
> Hallo,
>
> am besten ist wohl, wenn du immer die p/q-Formel benutzt,
> dann wirst du nicht verwirrt.
um Himmelswillen!!
Es stimmt zwar, dass die p-q-Formel "immer" geht, aber man sollte nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen, wenn es intelligentere Methoden gibt:
[mm] 0=x^2-4 \gdw x^2=4 \gdw [/mm] |x|=2 [mm] \gdw $\pm [/mm] x=2 [mm] \gdw x=\pm [/mm] 2$
und schon stehen die zwei Nullstellen da! 
> Denn eine quadratische
> Gleichung hat immer zwei Nullstellen, die zwar manchmal in
> eine zusammen fallen und auch nicht reell (aber dann sind
> es beide) sein können, aber es bleiben zwei Nullstellen.
> Deine Funktion in die pq-Form gebracht und Null gesetzt
> ergibt:
> [mm]0=x^2+0x-4[/mm]
> [mm]x_{1,2}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{\frac{0}{4}+4}[/mm]
> [mm]x_{1,2}=\pm2[/mm]
> Dass du einfach ein anderes Vorzeichen davor setzt klappt
> nur, wenn die quadratische Funktion ihren Scheitelpunkt bei
> x=0 hat.
> Hoffe, dich verwirrt das nicht noch mehr...
>
> Jedenfalls musst du nur von -2 bis 2 integrieren.
> Viel Erfolg noch,
>
>
> Roland.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
du hast zwar recht, dass man nicht so kompliziert ran gehen sollte, aber der Vorteil an der pq-Formel ist halt, dass sie immer klappt und auch immer zwei Ergebnisse liefert. In deinem Fall muss ich erst noch daran denken, dass die Wurzel zwei Lösungen hat. Das vergessen aber viele...
Nur deswegen hab ich geschrieben, dass es sinnvoll ist diese Formel anzuwenden.
Schönen Abend noch,
Roland.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 09.11.2009 | | Autor: | informix |
Hallo pi-roland,
> Hallo,
>
> du hast zwar recht, dass man nicht so kompliziert ran gehen
> sollte, aber der Vorteil an der pq-Formel ist halt, dass
> sie immer klappt und auch immer zwei Ergebnisse liefert. In
> deinem Fall muss ich erst noch daran denken, dass die
> Wurzel zwei Lösungen hat.
nein, die Wurzel (genauer: Quadratwurzel) ist stets diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat der Radikand ist.
Du meinst: eine quadratische Gleichung der Form [mm] x^2-a=0 [/mm] hat maximal zwei Lösungen:
[mm] x=\pm \wurzel{a} [/mm] falls [mm] a\ge0 [/mm] gilt.
Die (Quadrat-)Wurzel ist stets eindeutig definiert!
Schon das Wort "Lösungen" weist darauf hin, dass eine Gleichung untersucht wird und nicht eine Zahl zu bestimmen ist.
> Das vergessen aber viele...
> Nur deswegen hab ich geschrieben, dass es sinnvoll ist
> diese Formel anzuwenden.
> Schönen Abend noch,
>
>
> Roland.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Hallo nochmal,
ja du hast recht. Manchmal bin ich etwas ungenau.
Danke für die Korrektur,
Roland.
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