Fktn verschwindet fast überall < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Do 06.07.2006 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | Zeigen sie für f [mm] \in L^1_{loc}(\IR^n) [/mm] und U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen sind äquivalent:
(1)für alle unendlich oft differenzierbaren Fktn [mm] \phi [/mm] mit [mm] supp(\phi)\subset [/mm] U gilt [mm] \integral_{U}{f\phi}=0
[/mm]
(2) f=0 fast überall auf U |
Hallo,
von (2) nach (1) ist kein Problem. Aber ich weiß nicht so recht wie ich die Richtung (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) zeigen soll. Wahrscheinlich soll man dabei nutzen, dass man für jedes K [mm] \subset [/mm] U kompakt eine unendlich oft differenzierbare Fktn [mm] \phi [/mm] findet, mit [mm] 0\le \phi \le [/mm] 1 und [mm] \phi [/mm] =1 auf K und [mm] \phi=0 [/mm] auf [mm] \IR^n \backslash [/mm] U. (Das war die Aufgabe davor). Aber leider habe ich keine richtige Idee, wie ich damit die Behauptung zeigen kann.
Gruß
Frank
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Hallo Frank,
was habt ihr denn schon so für instrumente in der VL gehabt? dirac-folgen, faltungen...? ich habe mal ein wenig im netz recherchiert und der einzige beweis deiner aussage (die sich auch 'fundamentallemma der variationsrechnung' nennt), den ich gefunden habe, benutzt diese techniken... ist das f glatt, so lässt sich die aussage recht leicht beweisen. Ist f nur in [mm] $L^1_{loc}$, [/mm] so muss man die funktion vermutlich erst glätten und das geht am besten durch faltung mit einer dirac-folge.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 06.07.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo Matthias,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Wir behandeln im Moment Distributionen und haben in dem Zusammenhang auch schon die Diracsche Delta-Distribution und Faltung von Distributionen behandelt, allerdings keine Dirac-Fogen. Wenn du noch den Link zum Beweis hast, wäre es super, wenn du ihn mir schicken könntest.
Gruß
Frank
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Schau zB. mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach...
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