Fkt mit mind. ein Wert ungl. 0 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 26.06.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo!
Ich möchte für einen Beweis folgendes zeigen:
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Sei [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] stetig und es ex. ein [mm] $c\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $f(c)\not=0$
[/mm]
Daraus Folgt:
Es existiert ein Intervall [mm] $[c,d]\subseteq[a,b]$ [/mm] mit [mm] $0\not\in\{f(x)|x\in[c,d]\}$
[/mm]
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Ich komme da irgendwie auf keinen grünen Zweig...
Das war mein Versuch:
Sei oBdA: [mm] $e\in[a,b]$ [/mm] ,$c>e$ und $f(c)>f(e)$.
Sei [mm] $\xi\not=0$
[/mm]
Mit Hilfe des ZWS folgt:
Es ex. ein [mm] $\xi\in[f(e),f(c)]$ [/mm] und ein [mm] $d\in[e,c]\not [/mm] =c$ mit [mm] $f(d)=\xi$
[/mm]
So, daraus folgt ja aber keineswegs, wie ich erst voreilig angenommen hatte, dass [mm] $0\not\in\{f(x)|x\in[d,c]\}$ [/mm] da die Funktion dazwischen ja durchaus den Wert 0 annehmen kann, ohne dass daraus ein Widerspruch entsteht.
Nur, wie finde ich denn das das passende [mm] $d\in[a,b]$? [/mm] Dafür müsste ja die Funktion [mm] $f[c,d]\to\IR$ [/mm] monton steigend/fallend sein. Nur wie kann ich das zeigen? Kann mir da ja jemand einen Ansatz geben?
Vielen Dank schon mal und lg!
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Nun, der einfachste Fall währe wohl d=c
Dann wäre [c,d] = {c}, und du weißt, dass f(c) [mm]\not=[/mm] 0
Falls du es dir nicht so einfach machen willst oder machen darfst ist der Zwischenwertsatz schon eine gute Überlegung; nur nicht so komisch formuliert.^^
Es ist f(c) [mm]\not=[/mm] 0.
oBdA sei f(c) > 0 (ich kann hier oBdA sagen, weil die nachfolgenden Betrachtungen genauso gehen wenn f(c) < 0).
Dann unterscheidest du zwei Fälle:
1. f(x) > 0 [mm]\forall x>c[/mm].
Das heißt die Funktion hat keine Nullstelle für x>c.
2. [mm]\exists x, x>c: f(x) = 0[/mm]
Also es gibt eine Nullstelle größer c.
In einem der beiden Fälle machst du den Zwischenwertsatz und findest so dein d, im anderen Fall bist du ohnehin praktisch schon fertig.
Also, such dir aus ob du den ganz leichten oder den wahrscheinlich so gedachten Weg willst, guck dir die zwei Fälle an und finde dein d ;)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:51 So 26.06.2011 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hey, danke für die schnelle Antwort!
Also leider nützt mir der "einfache" Weg nichts, da ich das Intervall für ein Riemann-Integral brauche, was möglichst nicht 0 werden sollte :P.
Also versuche ich deinen Zweiten weg mal:
ObdA $\(f(c)>0$.
1.
Sei nun $f(x)>0$ für alle $x>c$. So wähle das Intervall $[c,d]$ mit $d>c$ und es gilt offensichtlich $0\not\in[f(x)|x\in[c,d]\}$
2.
$\exists \hat x,\ \hat x>c: f(\hat x)=0$
Nach dem ZWS folgt nun:
Zu jedem $u\in[f(c),f(\hat x)]$ ex. ein $d\in[c,\hat x]$ mit $\(f(d)=u$. Wähle ein beliebiges $u\not =f(c)\not =f(\hat x)$
Somit gilt:
$0\not\in\{f(x)|x\in[c,d]\}$
Aber damit habe ich ja eigentlich nicht ausgeschlossen, dass es weiter Nullstellen zwischen $\(c$ und $\hat x$ gibt.
Dazu müsste ich doch irgendwie sowas sagen:
$\hat x:=min\{x>c|f(x)=0\}$?
Soweit alles korrekt?
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Oh sehe gerade die Antwort von felixf, ist natürlich noch naheliegender...oh man
Da $\(f$ stetig folgt:
Für jedes $\epsilon>0$ ex. ein $\delta>0$, so dass für alle $\(x$ mit $d(x,c)<\delta$ die Abschätzung $d(f(x),f(c))<\epsilon$ gilt.
Setze $\epsilon=\bruch{|f(c)|}{2}$ so entspricht das Intervall $[c,c+\delta]$ (da d(..) die Standartmetrik ist) der Bedingung:
$0\not\in\{f(x)|x\in[c,c+\delta]$
So richtig?
Noch mal vielen Dank für die Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh sehe gerade die Antwort von felixf, ist natürlich noch
> naheliegender...oh man
>
>
> Da [mm]\(f[/mm] stetig folgt:
>
> Für jedes [mm]\epsilon>0[/mm] ex. ein [mm]\delta>0[/mm], so dass für alle
> [mm]\(x[/mm] mit [mm]d(x,c)<\delta[/mm] die Abschätzung
> [mm]d(f(x),f(c))<\epsilon[/mm] gilt.
>
> Setze [mm]\epsilon=\bruch{|f(c)|}{2}[/mm] so entspricht das
> Intervall [mm][c,c+\delta][/mm] (da d(..) die Standartmetrik ist)
> der Bedingung:
> [mm]0\not\in\{f(x)|x\in[c,c+\delta][/mm]
>
> So richtig?
Ja, das passt so.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Di 28.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] stetig und es ex. ein [mm]c\in[a,b][/mm] mit
> [mm]f(c)\not=0[/mm]
>
> Daraus Folgt:
> Es existiert ein Intervall [mm][c,d]\subseteq[a,b][/mm] mit
> [mm]0\not\in\{f(x)|x\in[c,d]\}[/mm]
Warum benutzt du nicht einfach die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] der Stetigkeit mit [mm] $\varepsilon [/mm] = |f(c)|/2$?
LG Felix
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