Fkt 4. Grades bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Graph der Funktion f 4. Grades ist symmetrisch zur 2. Achse. W(1/0) ist Wendepunkt des Funktionsgraphen und [mm] T(\wurzel{3}/-1) [/mm] ist ein Tiefpunkt.
a.) Bestimme den Funktionsterm von f; untersuche und zeichne den Graphen von f
b.) Zeige, dass die Flächen, die der Graph von f mit der 1. Achse einschließt, oberhalb der 1. Achse ingesamt den gleichen Flächeninhalt haben wie die unterhalb der 1. Achse
c.) Bestimme k$eR$ so, dass der Graph der Funktion zu y = [mm] x^4-6x^2+k [/mm] die 1. Achse in seinem Tiefpunkten berührt.
d.) Untersuche, für welche zahlen k$eR$ die Gleichung [mm] $x^4-6x^2+k [/mm] = 0$ keine Lösung hat. |
Hallo,
ich möchte gern die Funktionsterm aufstellen für aufgabe a:
Meiner Meinung nach ist die Fkt Achsensymmetrisch (wegen der 2. Achse)
also -->
$ f(x) = [mm] ax^4+cx^2+e [/mm] $
$f'(x) = [mm] 4ax^3+2cx$
[/mm]
$f''(x) [mm] =12ax^2+2c$
[/mm]
Als erstes habe ich den Wendepunkt (1/0) als Punkt genommen und in f(x) eingesetzt --> [mm] $0=a\cdot1^4+c\cdot1^2+0$--> [/mm] 0 = a + c
Als 2. Bedingung hab ich die 2. Ableitung genommen und dort den x wert des Wendepunktes eingesetzt also:
[mm] $0=12a\cdot1^2+2c$ [/mm] --> 12a+2c = 0
So aber wenn ich diese 2 Bedingungen gleichstelle kommt für a und c 0 raus.
Was hab ich falsch gemacht?
Braucht man den Tiefpunkt für die Berechnung auch noch ? Und wenn ja wie soll man denn damit rechnen?
Vielen Dank schonmal
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ok
gut also fehlt noch die 3. Bedingung mit dem Tiefpunkt:
1. Ableitung und da den x-wert des Tiefpunktes einsetzen also [mm] $\wurzel{3}$:
[/mm]
[mm] $4a\cdot\wurzel{3}^3+ 2c\cdot\wurzel{3}=0$
[/mm]
Ist das korrekt? Wie soll ich denn damit jetzt das Gleichungssystem lösen können bei solchen komischen Wurzelwerten?
Gruß Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 So 06.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ok
>
> gut also fehlt noch die 3. Bedingung mit dem Tiefpunkt:
>
> 1. Ableitung und da den x-wert des Tiefpunktes einsetzen
> also [mm]\wurzel{3}[/mm]:
> [mm]4a\cdot\wurzel{3}^3+ 2c\cdot\wurzel{3}=0[/mm]
>
> Ist das korrekt? Wie soll ich denn damit jetzt das
> Gleichungssystem lösen können bei solchen komischen
> Wurzelwerten?
Das ist korrekt so
Forme mal um
[mm] 4a\cdot\wurzel{3}^3+ 2c\cdot\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] \gdw 4a\cdot\overbrace{\underbrace{\wurzel{3}*\wurzel{3}}_{=3}*\wurzel{3}}^{=(\wurzel{3})^{3}}+2c\cdot\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] \gdw 12a*\wurzel{3}+2c\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] \gdw (12a+2c)\wurzel{3}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 12a+2c=0
Marius
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Mit den Umformen ist ja pfiffig hehe - danke
dann hab ich also folgende 3. Gleichungen:
I.) $ 0 = a + c + e$
II.) $ 0 = 12a + 2c $
III.) $ 0 = (12a + [mm] 2c)\cdot\wurzel{3} [/mm] $
Aber das GS kann man doch nicht auflösen, weil man 3 unbekannte hat, oder doch?
Ich habs mal probiert das sieht dann so aus:
$ 0 = a + c + e $ <=> c= -a - e
in II.) eingesetzt:
$ 0 = 12 a [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot(-a-e)$
[/mm]
$0 = 12a - 2a - 2e $
$0 = 10 a -2e$
$a= 0,2e $
a in III.) eingesetzt:
$ 0 = (12 [mm] \cdot [/mm] 0,2e + 2 [mm] \cdot [/mm] (-0,2e-e)) [mm] \cdot \wurzel{3} [/mm] $
$ (2,4e - 0,4e - 2 e) [mm] \cdot \wurzel{3} [/mm] $
$0 = [mm] \wurzel{3} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 06.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das LGS sollte lösbar sein
Ach ja: Aus [mm] T(\wurzel{3}/-1) [/mm] auch:
[mm] f(\wurzel{3})=1
[/mm]
Also:
[mm] (\wurzel{3})^{4}a+(\wurzel{3})^{2}c+e=-1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 9a+3c+e=-1
Das ist deine dritte Gleichung:
Also:
[mm] \vmat{a+c+e=0\\9a+3c+e=-1\\12a+2c=0}
[/mm]
(Gl.2-Gl.1)
[mm] \gdw \vmat{a+c+e=0\\8a+2c=-1\\12a+2c=0}
[/mm]
(Gl3-Gl2)
[mm] \gdw \vmat{a+c+e=0\\12a+2c=0\\4a=1}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{a+c+e=0\\6a+c=0\\a=\bruch{1}{4}}
[/mm]
Jetzt "Rückwärts" einsetzen.
Also GL2: [mm] \bruch{6}{4}+c=0\gdw c=-\bruch{3}{2}
[/mm]
Und dann a und C in Gl1.Einsetzen.
Marius
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ja hab ich auch so :)
Dadurch konnt ich jetzt auch aufgabe b - d ohne Probleme lösen.
Nur nochmal eine letzte Frage zu d.)
Wie schreibt man das mathetechnisch korrekt auf um auszudrücken,
dass es für alle reellen Zahlen größer 9 es keine Lösung gibt ?
Sowas konnt ich noch nie so richtig...
Danke
Gruß Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 06.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Felix,
> Wie schreibt man das mathetechnisch korrekt auf um
> auszudrücken,
> dass es für alle reellen Zahlen größer 9 es keine Lösung
> gibt ?
einfach (fast) so, wie du sprichst.
Überlege, was denn eigentlich die "Lösung" einer Gleichung ist.
Dann kannst du vervollständigen....
Für alle ..... > .... gibt es kein .......... so daß gilt .........
Gruß
Will
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hmm da müsst ich jetzt raten
Vielleicht:
Für alle [mm] $\IR$ [/mm] > 9 gibt es kein [mm] $\IL$ [/mm] sodass gilt: [mm] $\IR$ \in [/mm] >9
soll so viel heißen wie alle Reellen zahlen element größer 9 ist die lösung
? Sieht aber verwirrend aus..
Gruß Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 06.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Felix,
> Für alle [mm]\IR[/mm] > 9
was darf denn nicht größer als 9 werden?
gibt es kein [mm]\IL[/mm] sodass gilt: [mm]\IR[/mm] [mm]\in[/mm] >9
> soll so viel heißen wie alle Reellen zahlen element größer
> 9 ist die lösung
beantworte besser erstmal meine Frage: Was ist die "Lösung einer Gleichung"?
Dann ergibt sich die Formulierung von selbst.
Gruß
Will
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ach k
Die Lösung der Gleichung lautet also:
Für alle k [mm] \in $\IR$ [/mm] > 9 hat die Gleichung keine Lösung
(Für alle reellen Zahlen k größer 9 hat die Gleichung keine Lösung)
korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 So 06.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> ach k
>
> Die Lösung der Gleichung lautet also:
>
> Für alle k [mm]\in[/mm] [mm]\IR[/mm] > 9 hat die Gleichung keine Lösung
> (Für alle reellen Zahlen k größer 9 hat die Gleichung
> keine Lösung)
>
> korrekt?
Hallo
Das stimmt so
Marius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast du das e vergessen. Die erste Bedingung lautet [m]0=a+c+e[/m]
