Fixpunktsatz, verallgemeinert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
| Aufgabe | Verallgemeinerung des Banachschen Fixpunktsatzes
Sei X ein Banachraum und [mm] T:X\toX [/mm] eine Abbildung, so dass für ein festes [mm]m \in\IN\sub [/mm] ein q mit 0<q<1 existiert so dass
[mm]||T^{m}x-T^{m}y|| \le q||x-y||[/mm] für alle [mm]x,y \in X[/mm] gilt. Zeigen Sie
1. Es gibt einen eindeutig bestimmten Fixpunkt [mm]x' \in X[/mm] von T, das heißt [mm]T(x')=x'[/mm].
2. Für jedes [mm]x \in X [/mm] gilt [mm]\lim_{n \to \infty}T^{n}(x)=x'.[/mm]
Lösung:
Der gewöhnliche Banachsche Fixpunktsatz angewendet auf [mm]T^{m}[/mm] liefert die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes [mm]x'\inX[/mm] von [mm]T^{m}[/mm] mit [mm] \lim_{n\to \infty}T^{jm}=x'[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]. Insbesondere folgt:
[mm]T^{jm+k}x=T^{jm}(T^{k}x) \to_{j \to \infty}x'[/mm]
für alle [mm]k \in \left\{ 0, ... n-1 \right\} .[/mm] Also zerfällt [mm](T^{n}x)_{n}[/mm] in n Teilfolgen, die alle gegen x' konvergieren. Also gilt
[mm]T^{n}x \to_{n \to \infty} x'[/mm]
für alle [mm]x \in X[/mm]. Es bleibt zu zeigen, dass x' ein Fixpunkt von T ist. Dies folgt aus
[mm]||x'-Tx'||=||T^{m}x'-T^{m}Tx'|| \le q||x'-Tx'||.[/mm]
Dieser Fixpunkt ist eindeutig, da jeder Fixpunkt von T auch ein Fixpunkt von [mm]T^{m}[/mm] ist; dieser ist eindeutig. |
Warum folgt aus der Existenz eines Fixpunktes für [mm]T^{m}[/mm] nicht direkt die Konvergenz für [mm]T^{n}(x)[/mm]? Warum muss man erst über jm gehen und dann nochmal über jm+k?
Wie ist das gemeint, dass die Folge in Teilfolgen zerfällt?
Warum darf ich in der Betragsabschätzung am Schluss einfach ein [mm]T^{m}[/mm] rein-multiplizieren?
Und warum hab' ich gezeigt, dass x' ein Fixpunkt ist, nur indem ich den Betrag ein wenig nach oben abschätze?
Danke schonmal für eure Antwort! Hab' am 24.03. Vordiplomsprüfung Analysis und schon alles gelernt, bis auf die Differentialgleichungen.
Gruß
Timo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
P.S.: Wie rück' ich denn das [mm]n \to \infty [/mm] unter den Pfeil?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Fr 17.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Warum folgt aus der Existenz eines Fixpunktes für [mm]T^{m}[/mm]
> nicht direkt die Konvergenz für [mm]T^{n}(x)[/mm]?
Die Konvergenz einer Teilfolge impliziert im Allgemeinen nicht die Konvergenz der ganzen Folge!
> Warum muss man
> erst über jm gehen und dann nochmal über jm+k?
"jm" ist die Konvergenz der Teilfolge. Jetzt werden diese durch die ks geshiftet. So überdeckt man die Folge [m]T^n(x)[/m] (bis auf endlich viele Ausnahmen) durch Teilfolgen, die alle gegen [m]x'[/m] konvergieren, und zwar endlich viele. Dann konvergeirt auch die Folge selber - beweise das doch mal. Als vereinfachte Version kannst du ja erstmal beweisen: Sie [m](a_n)[/m] eine Folge für die [m](a_{2*k+1})[/m] und [m](a_{2*k})[/m] gegene [m]a[/m] konvergieren, so konvergiert die ganze Folge gegen [m]a[/m].
> Wie ist das gemeint, dass die Folge in Teilfolgen
> zerfällt?
Ab hinreichend großem n ist jedes Folgenglied in einer dieser Teilfolgen.
> Warum darf ich in der Betragsabschätzung am Schluss
> einfach ein [mm]T^{m}[/mm] rein-multiplizieren?
Fixpunkt.
> Und warum hab' ich gezeigt, dass x' ein Fixpunkt ist, nur
> indem ich den Betrag ein wenig nach oben abschätze?
Da q bestimmt Werte hat, der Betrag nicht-negativ ist ...
> P.S.: Wie rück' ich denn das [mm]n \to \infty[/mm] unter den Pfeil?
So: [m]\lim_{n}[/m]
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hallo!
Sorry, bis auf die Teilfolge hab' ich alles verstanden...
Ich sollte wohl das [mm]T^{jm}[/mm] lieber als [mm]\left( T^{m}\right) ^{j}[/mm] lesen oder? Weil wenn x' Fixpunkt von [mm]T^{m}[/mm] ist, dann auch von [mm]\left( T^{m}\right)^{j}[/mm] für alle j.
So, und dann kann ich sagen, dass jede der n Teilfolgen die Gestalt [mm]\left( T^{m}\right)^{j}*\left(T^{n}x\right)[/mm] hat, die alle gegen x' konvergieren. Was ich aber nicht verstehe ist, warum gerade diese Teilfolgen die [mm]T^{n}x[/mm] überdecken. Das Beispiel mit den beiden Folgen, das du gegeben hast, ist schon klar, nur hier seh' ich's leider noch nicht.
Danke für eine Antwort.
Gruß
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Fr 17.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Sorry, bis auf die Teilfolge hab' ich alles verstanden...
> Ich sollte wohl das [mm]T^{jm}[/mm] lieber als [mm]\left( T^{m}\right) ^{j}[/mm]
> lesen oder? Weil wenn x' Fixpunkt von [mm]T^{m}[/mm] ist, dann auch
> von [mm]\left( T^{m}\right)^{j}[/mm] für alle j.
Ja.
> So, und dann kann ich sagen, dass jede der n Teilfolgen die
> Gestalt [mm]\left( T^{m}\right)^{j}*\left(T^{n}x\right)[/mm] hat,
> die alle gegen x' konvergieren.
Nicht ganz. Es geht um m Teil-Folgen der Gestalt [m](j*m+k)_j[/m] mit [m]0\le k
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Alpha23 |
Hallo!
Irgendwie bin ich grad' schwer von Begriff... Ich seh' die Überdeckung immer noch nicht. Wenn ich die einzelnen Folgen mal aufliste, dann sind die ja von der Gestalt
[mm] T^{jm+1}x=\left(T^{m}\right)^{j}*Tx[/mm]
[mm]T^{jm+2}x=\left(T^{m}\right)^{j}*T^{2}x[/mm]
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.
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[mm]T^{jm+n-1}=\left(T^{m}\right)^{j}*T^{n-1}[/mm]
Warum konvergiert erstmal jede dieser Folgen gegen x'? Ich weiß zwar, dass x' ein Fixpunkt von [mm]T^{m}[/mm] ist, aber über [mm]T, T^{2}, ... , T^{n-1} [/mm] kann ich doch noch gar keine Aussage treffen, oder doch?
Warum werden mit dieser Aufspaltung alle reellen Zahlen überdeckt? Ich kann's nicht nachvollziehen...
Gruß
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Fr 17.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> mal aufliste, dann sind die ja von der Gestalt
> [mm]T^{jm+1}x=\left(T^{m}\right)^{j}*Tx[/mm]
> [mm]T^{jm+2}x=\left(T^{m}\right)^{j}*T^{2}x[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]T^{jm+n-1}=\left(T^{m}\right)^{j}*T^{n-1}[/mm]
Hier unten fehlt ein x - und klammern irgendwie auch, zB [m]({T^m}^j)(T^2(x))[/m] mit laufendem j!
> Warum konvergiert erstmal jede dieser Folgen gegen x'?
Das steht ganz oben im Beweis drin - statt x kann man ja auch mit [m]T(x)[/m] starten und auf diesen neuen Startwert [m]T^m,T^{2m},T^{3m},...[/m] "draufloslassen". Auf die Funktion [m]T^m[/m] kann man dann Banachschen Fixpunktsatz anwenden - et voila.
> Ich
> weiß zwar, dass x' ein Fixpunkt von [mm]T^{m}[/mm] ist, aber über [mm]T, T^{2}, ... , T^{n-1}[/mm]
> kann ich doch noch gar keine Aussage treffen, oder doch?
Das wird ja alles explizit im obigen Beweis ausgeführ!
> Warum werden mit dieser Aufspaltung alle reellen Zahlen
> überdeckt? Ich kann's nicht nachvollziehen...
Alle rellen Zahlen sicher nicht, aber alle natürlichen Zahlen, damit fast alle [m](T^n(x))_n[/m], und damit alle Folgenglieder der Folge [m](T^n(x))_n[/m] - dies ist eine Folge im Banachraum.
SEcki
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