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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion, die eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:
i) |f'(x)| [mm] \le \alpha [/mm] oder
ii) f'(x) [mm] \ge \beta
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit festen Konstanten 0 < [mm] \alpha [/mm] < 1 und [mm] \beta [/mm] > 1.
Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die Gleichung f(x) = x in beiden Fällen genau eine Lösung x [mm] \in \IR [/mm] besitzt. |
Hallo,
um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden, muss ich erstmal nachweisen, dass es sich bei f um eine Kontraktion handelt.
Zu i) ergibt sich mit dem Mittelwertsatz
|f(x) - f(y)| = |f'(x)| |x - y|
|f(x) - f(y)| [mm] \le \alpha [/mm] |x - y|
also ist f eine Kontraktion.
Zu ii) kann man mit der Umkehrfunktion arbeiten, also
g'(f(x)) = [mm] \bruch{1}{f'(x)}, [/mm] da f'(x) [mm] \ge \beta [/mm] ist, folgt
g'(f(x)) [mm] \le [/mm] 1.
und nach dem Mittelwertsatz wieder
|g(f(x)) - g(f(y))| = |g'(f(x))| |x - y|
|g(f(x)) - g(f(y))| [mm] \le \beta [/mm] |x - y|
und haben somit wieder die Kontraktion.
Meine Frage ist nun, wie ich den Banachschen Fixpunktsatz auf die beiden Funktionen anwenden kann, um ein x finden ?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Di 30.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine differenzierbare Funktion, die eine
> der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:
>
> i) |f'(x)| [mm]\le \alpha[/mm] oder
> ii) f'(x) [mm]\ge \beta[/mm]
>
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit festen Konstanten 0 < [mm]\alpha[/mm] < 1
> und [mm]\beta[/mm] > 1.
>
> Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die
> Gleichung f(x) = x in beiden Fällen genau eine Lösung x
> [mm]\in \IR[/mm] besitzt.
> Hallo,
>
> um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden, muss ich
> erstmal nachweisen, dass es sich bei f um eine Kontraktion
> handelt.
>
> Zu i) ergibt sich mit dem Mittelwertsatz
>
> |f(x) - f(y)| = |f'(x)| |x - y|
Das stimmt so nicht. Richtig wäre:
|f(x) - f(y)| = [mm] |f'(\xi)| [/mm] |x - y| mit [mm] \xi [/mm] zwischen x und y.
> |f(x) - f(y)| [mm]\le \alpha[/mm] |x - y|
Diese Folgerung stimmt dann.
>
> also ist f eine Kontraktion.
ja
>
> Zu ii) kann man mit der Umkehrfunktion arbeiten,
Dazu solltest Du aber zuerst zeigen, dass f auch eine Umkehrfunktion hat !
> also
>
> g'(f(x)) = [mm]\bruch{1}{f'(x)},[/mm] da f'(x) [mm]\ge \beta[/mm] ist, folgt
Ist g bei Dir die Umkehrfunktion von f ?
>
> g'(f(x)) [mm]\le[/mm] 1.
>
> und nach dem Mittelwertsatz wieder
>
> |g(f(x)) - g(f(y))| = |g'(f(x))| |x - y|
> |g(f(x)) - g(f(y))| [mm]\le \beta[/mm] |x - y|
Das ist doch Unfug !
Mit dem Mittelwertsatz folgt für [mm] x_1,x_2 \in \IR:
[/mm]
(*) [mm] |f(x_1)-f(x_2)| \ge \beta*|x_1-x_2|.
[/mm]
Sind nun [mm] y_1,y_2 \in [/mm] f( [mm] \IR) [/mm] (das ist der Def. -Bereich von g), so setze
[mm] x_1:=g(y_1) [/mm] und [mm] x_2:=g(y_2).
[/mm]
Aus (*) folgt dann
[mm] |g(y_1)-g(y_2)| \le \bruch{1}{\beta}|y_1-y_2|.
[/mm]
g ist also eine Kontraktion.
>
> und haben somit wieder die Kontraktion.
>
> Meine Frage ist nun, wie ich den Banachschen Fixpunktsatz
> auf die beiden Funktionen anwenden kann, um ein x finden ?
Bei i) dürfte das klar sein: der Fixpunktsatz besagt: es gibt genau ein x mit f(x)=x.
Zu ii): der Fixpunktsatz besagt: es gibt genau ein y mit g(y)=y.
Dann ist f(y)=f(g(y))=y.
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe :)
>
> Gruß
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Okay, muss ich mich beim hinschreiben mehr konzentrieren, damit das mit den Variablen hinhaut.
D.h. ich muss nur noch nachweisen, dass f eine Umkehrfunktion g hat.
Wenn f stetig und streng monoton ist, dann existiert die Umkehrfunktion g und sie ist auch stetig und streng monoton.
Wir wissen, dass f differenzierbar ist, also auch stetig und dass f'(x) [mm] \ge \beta [/mm] = 1 ist. Daraus folgt, dass f wachsend ist.
Kann ich das somit begründen, dass g existiert ?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Di 30.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, muss ich mich beim hinschreiben mehr konzentrieren,
> damit das mit den Variablen hinhaut.
>
> D.h. ich muss nur noch nachweisen, dass f eine
> Umkehrfunktion g hat.
> Wenn f stetig und streng monoton ist, dann existiert die
> Umkehrfunktion g und sie ist auch stetig und streng
> monoton.
>
> Wir wissen, dass f differenzierbar ist, also auch stetig
> und dass f'(x) [mm]\ge \beta[/mm] = 1 ist. Daraus folgt, dass f
> wachsend ist.
>
> Kann ich das somit begründen, dass g existiert ?
Ja, f ist sogar streng wachsend.
FRED
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Di 30.04.2013 | | Autor: | Palindrom |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
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