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| Aufgabe | | Sei [mm] f:\IC\to\IC, [/mm] f(z)=z²+i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf der f kontrahierend ist. Sei [mm] z_1=0 [/mm] und [mm] z_{n+1}=f(z_n). [/mm] Untersuche, ob die Folge [mm] (z_n) [/mm] konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. |
Hallo zusammen. Nach dem Fixpunktsatz von Banach konvergiert die Folge [mm] (z_n) [/mm] ja genau dann gegen den Fixpunkt von f, wenn f eine Kontraktion (auf..) ist. So wie ich das verstehe, muss man sich hier selber einen Definitionsbereich D basteln, s.d. f: [mm] D\to [/mm] D eine Kontraktion ist. Wie soll man denn hier vorgehen? Soll man sich einen beliebigen Punk [mm] z_0 \in\IC [/mm] aussuchen und dann schauen, welchen Radius r man benötigt, damit f auf [mm] B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
Mit [mm] B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
Ich bin hier leicht überfordert. Sonst war der Definitionsbereich nämlich immer vorgegeben und die Zahlen reell...
Grüße, kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IC\to\IC,[/mm] f(z)=z²+i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf
> der f kontrahierend ist. Sei [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_{n+1}=f(z_n).[/mm]
> Untersuche, ob die Folge [mm](z_n)[/mm] konvergiert, und bestimme
> gegebenenfalls den Grenzwert.
> Hallo zusammen. Nach dem Fixpunktsatz von Banach
> konvergiert die Folge [mm](z_n)[/mm] ja genau dann gegen den
> Fixpunkt von f, wenn f eine Kontraktion (auf..) ist. So wie
> ich das verstehe, muss man sich hier selber einen
> Definitionsbereich D basteln, s.d. f: [mm]D\to[/mm] D eine
> Kontraktion ist.
Dabei sollte D abgeschlossen sein !
> Wie soll man denn hier vorgehen? Soll man
> sich einen beliebigen Punk [mm]z_0 \in\IC[/mm] aussuchen und dann
> schauen, welchen Radius r man benötigt, damit f auf
> [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
Oben ist doch vom [mm] z_1=0 [/mm] die Rede. Daher würde ich für D eine abgeschlossene Kreisscheibe um 0 mit Radius r nehmen.
Wie kommt man zu r ?
So:
Für z,w [mm] \in [/mm] D ist
$ [mm] |f(z)-f(w)|=|z^2-w^2|=|z+w|*|z-w| \le [/mm] (|z|+|w|)*|z-w| [mm] \le [/mm] 2r|z-w|$.
Machts klick ?
FRED
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> Mit [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
> den Punkt [mm]z_0[/mm] mit Radius r.
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> Ich bin hier leicht überfordert. Sonst war der
> Definitionsbereich nämlich immer vorgegeben und die Zahlen
> reell...
>
> Grüße, kulli
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> > Sei [mm]f:\IC\to\IC,[/mm] f(z)=z²+i/4. Finde eine Kreisscheibe, auf
> > der f kontrahierend ist. Sei [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_{n+1}=f(z_n).[/mm]
> > Untersuche, ob die Folge [mm](z_n)[/mm] konvergiert, und bestimme
> > gegebenenfalls den Grenzwert.
> > Hallo zusammen. Nach dem Fixpunktsatz von Banach
> > konvergiert die Folge [mm](z_n)[/mm] ja genau dann gegen den
> > Fixpunkt von f, wenn f eine Kontraktion (auf..) ist. So wie
> > ich das verstehe, muss man sich hier selber einen
> > Definitionsbereich D basteln, s.d. f: [mm]D\to[/mm] D eine
> > Kontraktion ist.
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> Dabei sollt D abgeschlossen sein !
>
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> > Wie soll man denn hier vorgehen? Soll man
> > sich einen beliebigen Punk [mm]z_0 \in\IC[/mm] aussuchen und dann
> > schauen, welchen Radius r man benötigt, damit f auf
> > [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
>
>
> Oben ist doch vom [mm]z_1=0[/mm] die Rede. Daher würde ich für D
> eine abgeschlossene Kreisscheibe um 0 mit Radius r nehmen.
Aaah. Guter Anhaltspunkt!
> Wie kommt man zu r ?
>
> So:
>
> Für z,w [mm]\in[/mm] D ist
>
> [mm]|f(z)-f(w)|=|z^2-w^2|=|z+w|*|z-w| \le (|z|+|w|)*|z-w| \le 2r|z-w|[/mm].
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> Machts klick ?
Ich denke schon. Man könnte r:=1/4 wählen oder zumindest r<1/2.
Danke!
> FRED
> >
> > Mit [mm]B_r(z_0)=\{z \in\IC :|z-z_0|
> > den Punkt [mm]z_0[/mm] mit Radius r.
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> > Ich bin hier leicht überfordert. Sonst war der
> > Definitionsbereich nämlich immer vorgegeben und die Zahlen
> > reell...
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> > Grüße, kulli
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