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| Aufgabe | Gesucht ist ein Fixpunkt der Funktion f(x) = tan(x) im Intervall [mm] ](k-\bruch{1}{2})\pi,(k+\bruch{1}{2})\pi[, k\in\IN^+. [/mm]
Bestimmen Sie die Fixpunkte graphisch für k = 1, 2.
Zeigen Sie, dass für beliebige [mm] x_{0}\in[(k-\bruch{1}{2})\pi,(k+\bruch{1}{2})\pi] [/mm] die Iteration [mm] x_{n+1}=k\pi+arctanx_{n} [/mm] eine geeignete Fixpunktiteration darstellt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Den ersten Teil, mit der grafischen Bestimmung, habe ich schon gemacht.
Mein Problem liegt bei dem 2.Teil.
Ich habe als erstes [mm] x_{n+1}=f(x_{0}) [/mm] mit [mm] x_{0}=(k-\bruch{1}{2})\pi
[/mm]
eingesetzt.
Dann nach, Auflösung der Klammer habe, ich [mm] x_{n+1}=tan(k\pi-\bruch{1}{2}\pi) [/mm] raus.
( Aber eigentlich wäre das doch nur [mm] x_{1}=tan(k\pi-\bruch{1}{2}\pi) [/mm] und nicht [mm] x_{n+1}, [/mm] da fehlt mir doch bestimmt noch ein Schritt oder? )
Nun weiß ich nicht wie ich weiter machen soll!
Unser Tutor hat noch etwas gesagt mit Monotonie erst beweisen. Verstehe aber nicht warum ich das machen sollte, kann auch sein das ich mich verhört habe.
Hoffentlich kann mir einer helfen, bedanke mich schon mal im Voraus!
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Hallo Bianca_1984,
> Gesucht ist ein Fixpunkt der Funktion f(x) = tan(x) im
> Intervall [mm]](k-\bruch{1}{2})\pi,(k+\bruch{1}{2})\pi[, k\in\IN^+.[/mm]
> Bestimmen Sie die Fixpunkte graphisch für k = 1, 2.
> Zeigen Sie, dass für beliebige
> [mm]x_{0}\in[(k-\bruch{1}{2})\pi,(k+\bruch{1}{2})\pi][/mm] die
> Iteration [mm]x_{n+1}=k\pi+arctanx_{n}[/mm] eine geeignete
> Fixpunktiteration darstellt.
Man könnte es ja mit dem Banachschen Fixpunktsatz versuchen. Als erstes bemerken wir, daß [mm]D:=\left[\left(k-\tfrac{1}{2}\right)\pi,\left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi\right][/mm] abgeschlossen ist.
Jetzt müssen wir zeigen, daß für [mm]\varphi(x):=k\pi+\arctan x[/mm] folgendes gilt: [mm]\textstyle\varphi(D) \subseteq D\wedge [L:=]\sup_{x\in D}{\left|\varphi'(x)\right|} < 1[/mm]. (Dabei ist [mm]L[/mm] die Kontraktionskonstante und kann naher bei verschiedenen Abschätzungen zu dieser Fixpunktiteration benutzt werden.)
Nach der Regel zur Ableitung von Umkehrfunktionen gilt nun wegen [mm]\tan'z = 1+\tan^2 z[/mm]: [mm]\varphi'(x) = \tfrac{1}{1+x^2} < 1[/mm], da wir hier [mm]x=0[/mm] nicht setzen dürfen, weil [mm]0\notin D[/mm], denn der kleinste Wert für [mm]k[/mm] ist hier (zum Glück  ) 1. (Für das Supremum - denke ich - wird der Bruch am größten, wenn [mm]x[/mm] so klein wie möglich ist, also: [mm]L := \tfrac{1}{1+(k-1/2)^2\pi^2}[/mm], aber eigentlich muß man das Supremum hier gar nicht mehr betrachten höchstens wenn man [mm]L[/mm] haben will.)
Nachdem wir nun [mm]\varphi'(x)[/mm] kennen, wissen wir, daß [mm]\varphi(x)[/mm] streng monoton steigend ist. Es sollte also reichen hier die Randpunkte von [mm]D[/mm]: [mm]\left[D_1,D_2\right] := D[/mm] zum Nachweis einer Selbstabbildung einzusetzen. Da aber [mm]q := \arctan(\star) \in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right][/mm] gilt, muß [mm]k\pi + q \in D[/mm] sein, weshalb [mm]x_{i+1} := \varphi\left(x_i\right)[/mm] nach dem Banachschen Fixpunktsatz zu genau einem Fixpunkt in [mm]D[/mm] konvergieren muß.
Viele Grüße
Karl
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Danke für deine Hilfe! Hätte das sonst nicht so hingekommen!
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