Fixpunkte,Fixgeraden < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo liebe forumfreunde
Ich habe eine Frage:
Wenn eine Matrix A , keine reellen Eigenwerte hat und dann die Aufgabe dazu lautet:
[mm] A=\pmat{ 0 & -2 \\ 2 & 0 } [/mm] , die Matrix A hat keine Eigenwerte und somit auch,keine Eigenvektoren.
Aufgabe: Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden.
Wie geht man an diese Aufgabe ran?
Meine Meinung:
Also da es keine reelen Eigenwerte hat, hat es auch keine Fixpunkte und auch keine Fixgerade oder auch keine Fixpunktgerade.
Stimmts?
würd mich über jede hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 09.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Fixpunkte sind genau die Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Wenn es keine reellen Eigenwerte gibt, dann ist $0$ der einzige Fixpunkt.
Gruß, Robert
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Erstmal vielen Dank für die schnelle hilfe
heißt es jetzt,wenn der Eigenvektor [mm] \vec{e}= \vektor{1 \\ 5} [/mm] ist,dnn ist der Fixpunkt (5/0) oder habe ich da was missverstanden?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Fr 09.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für die schnelle hilfe
>
> heißt es jetzt,wenn der Eigenvektor [mm]\vec{e}= \vektor{1 \\ 5}[/mm]
> ist,dnn ist der Fixpunkt (5/0) oder habe ich da was
> missverstanden?
Ja.
Fixpunkt bedeutet doch: Ax=x (A eine Matrix)
Du siehst: x = 0 erfüllt obige Gleichung, ist also ein Fixpunkt.
Für x [mm] \not=0 [/mm] gilt:
x ist Fixpunkt [mm] \gdw [/mm] x ist Eigenvektor von A zum Eigenwert 1
Wenn also eine Matrix nicht den Eigenwert 1 hat, so ist nur x=0 ein Fixpunkt
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Danyal
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hallo und danke für die hilfe
> > Erstmal vielen Dank für die schnelle hilfe
> >
> > heißt es jetzt,wenn der Eigenvektor [mm]\vec{e}= \vektor{1 \\ 5}[/mm]
> > ist,dnn ist der Fixpunkt (5/0) oder habe ich da was
> > missverstanden?
>
> Ja.
mir wirds nich so gan klar. Ist (5/0) nun ein Fixpunkt oder nicht?
>
> Fixpunkt bedeutet doch: Ax=x (A eine Matrix)
>
> Du siehst: x = 0 erfüllt obige Gleichung, ist also ein
> Fixpunkt.
>
> Für x [mm]\not=0[/mm] gilt:
>
> x ist Fixpunkt [mm]\gdw[/mm] x ist Eigenvektor von A zum Eigenwert
> 1
>
>
> Wenn also eine Matrix nicht den Eigenwert 1 hat, so ist nur
> x=0 ein Fixpunkt
Das verstehe ich jetzt so,dass wenn der Eigenvektor einer Matrix folgendermaßen lautet: [mm] \vec{e}=\vektor{0 \\ 1}, [/mm] dass es dann keine Fixpunkte hat. aber hier müsste es doch gerade unendlich viele haben,weil das eine fixpunktgerade ist, oder?
Vielen DAnk im Voraus.
MfG
Danyal
>
> FRED
>
>
> >
> > Vielen Dank im Voraus.
> > MfG
> > Danyal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Fr 09.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bezieht sich deine Frage noch auf die urspruengliche Matrix?
oder denkst du dir jetzt Eigenvektoren zu ner gedachten Matrix aus?
Eigenvektoren geben die Fixgeraden an, wenn ein EigenVektor
[mm] \vektor{1 \\ 5} [/mm] ist, wieso soll dann (5,0) ein fixpunkt sein?
Da steht doch deutlich : nur wenn der Eigenwert 1 ist. und dann waere (1,5) Fixpunkt. Aber sicher nicht (5,0)
Bei deiner Matrix ist nur (0,0) Fixpunkt, die Gerade y=x bzw
[mm] x=s*\vektor{1 \\ 1} [/mm] ist Fixgerade.
Das kannst du ja aber leicht durch Einsetzen selbst nachpruefen.
Gruss leduart
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hallo und danke für die verständliche hilfe.
Leider bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher ob das Ergebnis korrekt ist,deshalb bitte ich euch um eure hilfe.
Aufgabe:
A(0/1) [mm] \mapsto [/mm] A'(4/0) : B(-1/-1) [mm] \mapsto [/mm] B'(-1/-1) ; C(0/-4) [mm] \mapsto [/mm] C'(0/-4)
a) Bestimmen Sie jeweils die Abbildungsgleichung der zugehörigen affinen Abbildung.
b) Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden
Meine Lösungen bzw. meine Ansätze:
a) Durch Reduktion erhalte ich die Abbildungsgleichung;
[mm] A=\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 } [/mm] ; Verschiebungsvektor [mm] \vec{v}= \vektor{3,2 \\ -0,8}
[/mm]
b) Die Fixpunkte kann man ja von B' und C' ablesen.
Gibt es noch weitere Fixpunkte,falls ja,wie bestimme ich diese? Wie
bestimmt man die Fixgerade oder evtl. auch die Fixpunktgerade? Kann
man davon ausgehen, dass wenn eine Matrix A 2 Eigenwerte hat,somit
auch eine Fixgerade oder evtl. eine Fixpunktgerade haben muss?
Würd mich über jede hilfe / Ergänzung freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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Hallo mathegenie_90,
> hallo und danke für die verständliche hilfe.
>
> Leider bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher ob
> das Ergebnis korrekt ist,deshalb bitte ich euch um eure
> hilfe.
>
> Aufgabe:
>
> A(0/1) [mm]\mapsto[/mm] A'(4/0) : B(-1/-1) [mm]\mapsto[/mm] B'(-1/-1) ;
> C(0/-4) [mm]\mapsto[/mm] C'(0/-4)
>
> a) Bestimmen Sie jeweils die Abbildungsgleichung der
> zugehörigen affinen Abbildung.
> b) Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden
>
> Meine Lösungen bzw. meine Ansätze:
>
> a) Durch Reduktion erhalte ich die Abbildungsgleichung;
> [mm]A=\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }[/mm] ;
> Verschiebungsvektor [mm]\vec{v}= \vektor{3,2 \\ -0,8}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Die Fixpunkte kann man ja von B' und C' ablesen.
Wenn B' und C' Fixpunkte sind, dann stellt sich doch die Frage,
ob die Gerade durch B' und C' eine Fixgerade ist.
> Gibt es noch weitere Fixpunkte,falls ja,wie bestimme
> ich diese? Wie
Fixpunkte sind hier durch die Lösungsmenge von
[mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }*\pmat{x \\ y}+ \pmat{3,2 \\ -0,8}[/mm]
gegeben.
> bestimmt man die Fixgerade oder evtl. auch die
> Fixpunktgerade? Kann
> man davon ausgehen, dass wenn eine Matrix A 2 Eigenwerte
> hat,somit
> auch eine Fixgerade oder evtl. eine Fixpunktgerade haben
> muss?
>
Erstens mal muß der Ortsvektor einer möglichen Fixgeraden
ein Fixpunkt sein.
Die Richtungsvektoren der Fixgeraden sind durch die Eigenwerte von
[mm]\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }[/mm]
bestimmt.
Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor,
der dann Richtungsvektor der Fixgeraden ist.
> Würd mich über jede hilfe / Ergänzung freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Danyal
>
Gruss
MathePower
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Erstmal vielen Dank für die verständliche hilfe
hallo
> Hallo mathegenie_90,
>
> > hallo und danke für die verständliche hilfe.
> >
> > Leider bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher ob
> > das Ergebnis korrekt ist,deshalb bitte ich euch um eure
> > hilfe.
> >
> > Aufgabe:
> >
> > A(0/1) [mm]\mapsto[/mm] A'(4/0) : B(-1/-1) [mm]\mapsto[/mm] B'(-1/-1) ;
> > C(0/-4) [mm]\mapsto[/mm] C'(0/-4)
> >
> > a) Bestimmen Sie jeweils die Abbildungsgleichung der
> > zugehörigen affinen Abbildung.
> > b) Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden
> >
> > Meine Lösungen bzw. meine Ansätze:
> >
> > a) Durch Reduktion erhalte ich die Abbildungsgleichung;
> > [mm]A=\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }[/mm] ;
> > Verschiebungsvektor [mm]\vec{v}= \vektor{3,2 \\ -0,8}[/mm]
>
>
> Stimmt.
>
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> >
> > b) Die Fixpunkte kann man ja von B' und C' ablesen.
>
>
> Wenn B' und C' Fixpunkte sind, dann stellt sich doch die
> Frage,
> ob die Gerade durch B' und C' eine Fixgerade ist.
>
>
> > Gibt es noch weitere Fixpunkte,falls ja,wie bestimme
> > ich diese? Wie
>
>
> Fixpunkte sind hier durch die Lösungsmenge von
>
> [mm]\pmat{x \\ y}=\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }*\pmat{x \\ y}+ \pmat{3,2 \\ -0,8}[/mm]
>
> gegeben.
hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:
3,4x+0,8y+3,2=x
-0,6x+0,8y-0,8=y
2,4x+0,8y=-3,2
-0,6x-0,2y= 0,8 /*4
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=0
was heißt das jetzt genau?unendlich viele Fixpunkte,also eine Fixpunktgerade vielleicht?
>
>
> > bestimmt man die Fixgerade oder evtl. auch die
> > Fixpunktgerade? Kann
> > man davon ausgehen, dass wenn eine Matrix A 2 Eigenwerte
> > hat,somit
> > auch eine Fixgerade oder evtl. eine Fixpunktgerade haben
> > muss?
> >
>
>
> Erstens mal muß der Ortsvektor einer möglichen
> Fixgeraden
> ein Fixpunkt sein.
>
> Die Richtungsvektoren der Fixgeraden sind durch die
> Eigenwerte von
>
> [mm]\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }[/mm]
>
> bestimmt.
>
> Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor,
> der dann Richtungsvektor der Fixgeraden ist.
hierzu habe ich eine Frage:
Wenn jetzt eine Matrix A zwei Eigenwerte hat,hats ja auch zwei Eigenvektoren,heißt das jetzt,dass es zwei Fixgerade haben muss oder 2 Fixgeraden haben könnte?
Würd mich über jede hilfe / Ergänzung freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:
>
> 3,4x+0,8y+3,2=x
> -0,6x+0,8y-0,8=y
>
> 2,4x+0,8y=-3,2
> -0,6x-0,2y= 0,8 /*4
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0=0
das kommt doch nur raus, wenn du die 2 Gleichungen voneinander abziest, weil sie vielfache sind. es bleibt:
eine stehen, du hast also die Gerade :
-0,6x-0,2y= 0,8
die haettest du ohne Loesen des Systems als verbindungsgerade der 2 Fixpunte auch finden koennen.
affine Abbildungen sind Spiegelungen, Drehungen Streckungen, soweit lineare Abb. wenn noch ne Verschiebung dazukommt affine Abb.
Du kannst keinen Fixpkt haben , nur einen Fix punkt haben, oder wenn du mehr hast liegen sie auf einer Fixpunktgeraden, eine Fixgerade muss den Fixpunkt enthalten es kann auch eine Fixpunktgerade sein. 2 Fixgeraden geht nicht. (Ueberleg, wie du das z. Bsp. an Hand der moeglichen Loesungen des LGS: x=Ax+b zeigen kannst.
Gruss leduart
> was heißt das jetzt genau?unendlich viele Fixpunkte,also
> eine Fixpunktgerade vielleicht?
ja
Gruss leduart
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hallo und vielen Dank für die Erklärung
> Hallo
>
> > hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:
> >
> > 3,4x+0,8y+3,2=x
> > -0,6x+0,8y-0,8=y
> >
> > 2,4x+0,8y=-3,2
> > -0,6x-0,2y= 0,8 /*4
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] 0=0
> das kommt doch nur raus, wenn du die 2 Gleichungen
> voneinander abziest, weil sie vielfache sind. es bleibt:
> eine stehen, du hast also die Gerade :
> -0,6x-0,2y= 0,8
-0,6x-0,2y=0,8
=> -0,2y=0,8+0,6x / :(-0,2)
=> y = -4 -3x
=> [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ -4} [/mm] * k [mm] \vektor{1 \\ -3}
[/mm]
Das wäre dann meine Geradengleihung,also die Fixpunktgeradengleichung.
stimmt das so?
> die haettest du ohne Loesen des Systems als
> verbindungsgerade der 2 Fixpunte auch finden koennen.
> affine Abbildungen sind Spiegelungen, Drehungen
> Streckungen, soweit lineare Abb. wenn noch ne Verschiebung
> dazukommt affine Abb.
> Du kannst keinen Fixpkt haben , nur einen Fix punkt haben,
> oder wenn du mehr hast liegen sie auf einer
> Fixpunktgeraden, eine Fixgerade muss den Fixpunkt
> enthalten es kann auch eine Fixpunktgerade sein. 2
> Fixgeraden geht nicht.
Also wenn ich 2 Fixpunkte habe,so ist das automatisch eine Fixpunktgerade? Ich dachte dass es auch eine Fixgerade sein könnte.
wann weiß ich denn wann wann der Fixpunkt auf einer Fixgeraden liegt?Mit hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren?wenn ja,wie müsste ich da vorgehen?
Würd mich über jede hilfe / Idee freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
DAnyal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Fixpunkte: x1,x2
(x=Vektoren)
x1=Ax1+b
x2=Ax2+b
beliebiger Punkt auf der Geraden durch x1 und x2 :
x3=x1+r*(x1-x2)
eingesetz
Ax3+b=Ax1+A*rx1-A*rx2+b=Ax1+b+r(Ax1+b)-r(Ax2+b)=x1+r(x1-x2)=x3
also ist auch x3 Fixpunkt, die Gerade also ne Fixpunktgerade.
auf die Weise kannst du alle deine Fragen selbst beantworten.
Gruss leduart
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hallo und danke für die verständliche hilfe.
Leider bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher ob das Ergebnis korrekt ist,deshalb bitte ich euch um eure hilfe.
Aufgabe:
A(1/1) [mm] \mapsto [/mm] A'(12/19) : B(-2/0) [mm] \mapsto [/mm] B'(0/16) ; C(-3/1) [mm] \mapsto [/mm] C'(0/19)
a) Bestimmen Sie jeweils die Abbildungsgleichung der zugehörigen affinen Abbildung.
b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren und die Eigenwerte
c) Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden
Meine Lösungen bzw. meine Ansätze:
a) Durch Reduktion erhalte ich die Abbildungsgleichung;
[mm] A=\pmat{ 0 & 12 \\ 0 & 3 } [/mm] ; Verschiebungsvektor [mm] \vec{v}= \vektor{12\\ 16} [/mm]
b) Eigenwerte sind 3 und 0.
Eigenvektoren sind beide [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
c) Nun muss ich ja c) gar nicht rechnen,denn der Eigenvektor ist ja der Richtungsvektor von der Fixgerade.
Es gibt unendlich viele Fixpunkte und die Fixgerade ist parallel zur y-Achse.
Würd mich über jede hilfe / Ergänzung freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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Hallo mathegenie_90,
> hallo und danke für die verständliche hilfe.
>
> Leider bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher ob
> das Ergebnis korrekt ist,deshalb bitte ich euch um eure
> hilfe.
>
> Aufgabe:
>
> A(1/1) [mm]\mapsto[/mm] A'(12/19) : B(-2/0) [mm]\mapsto[/mm] B'(0/16) ;
> C(-3/1) [mm]\mapsto[/mm] C'(0/19)
>
> a) Bestimmen Sie jeweils die Abbildungsgleichung der
> zugehörigen affinen Abbildung.
> b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren und die Eigenwerte
> c) Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden
>
> Meine Lösungen bzw. meine Ansätze:
>
> a) Durch Reduktion erhalte ich die Abbildungsgleichung;
> [mm]A=\pmat{ 0 & 12 \\ 0 & 3 }[/mm] ; Verschiebungsvektor [mm]\vec{v}= \vektor{12\\ 16}[/mm]
Von A bzw. vom Verschiebungsvektor v
stimmen jewils nur die zweite Zeile bzw. die zweite Komponente.
>
> b) Eigenwerte sind 3 und 0.
> Eigenvektoren sind beide [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> c) Nun muss ich ja c) gar nicht rechnen,denn der
> Eigenvektor ist ja der Richtungsvektor von der Fixgerade.
> Es gibt unendlich viele Fixpunkte und die Fixgerade ist
> parallel zur y-Achse.
>
> Würd mich über jede hilfe / Ergänzung freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Danyal
Gruss
MathePower
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hallo
> Hallo mathegenie_90,
>
> > hallo und danke für die verständliche hilfe.
> >
> > Leider bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher ob
> > das Ergebnis korrekt ist,deshalb bitte ich euch um eure
> > hilfe.
> >
> > Aufgabe:
> >
> > A(1/1) [mm]\mapsto[/mm] A'(12/19) : B(-2/0) [mm]\mapsto[/mm] B'(0/16) ;
> > C(-3/1) [mm]\mapsto[/mm] C'(0/19)
> >
> > a) Bestimmen Sie jeweils die Abbildungsgleichung der
> > zugehörigen affinen Abbildung.
> > b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren und die Eigenwerte
> > c) Bestimmen Sie Fixpunkte und Fixgeraden
> >
> > Meine Lösungen bzw. meine Ansätze:
> >
> > a) Durch Reduktion erhalte ich die Abbildungsgleichung;
> > [mm]A=\pmat{ 0 & 12 \\ 0 & 3 }[/mm] ; Verschiebungsvektor [mm]\vec{v}= \vektor{12\\ 16}[/mm]
>
>
> Von A bzw. vom Verschiebungsvektor v
> stimmen jewils nur die zweite Zeile bzw. die zweite
> Komponente.
so jetzt habe ichs korrigiert,jetzt müsste es lauten:
[mm] A=\pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 3 } [/mm] und Verschiebungsvektor [mm] \vec{v}= \vektor{6\\ 16}
[/mm]
>
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> >
> > b) Eigenwerte sind 3 und 0.
> > Eigenvektoren sind beide [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
Es gibt nun nur einen Eigenwert und zwar die 3 und der Eigenvektor bleibt gleich.
> >
> > c) Nun muss ich ja c) gar nicht rechnen,denn der
> > Eigenvektor ist ja der Richtungsvektor von der Fixgerade.
> > Es gibt unendlich viele Fixpunkte und die Fixgerade ist
> > parallel zur y-Achse.
Bei der Aussage für c) bleibe ich, ist das korrekt? wenn ja wie finde ich denn den Stützvektor für die Fixgerade heraus?
Würd mich über jede hilfe / Ergänzung freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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> Du kannst keinen Fixpkt haben , nur einen Fixpunkt haben,
> oder wenn du mehr hast liegen sie auf einer
> Fixpunktgeraden, eine Fixgerade muss den Fixpunkt
> enthalten es kann auch eine Fixpunktgerade sein. 2
> Fixgeraden geht nicht.
Genau zwei Fixgeraden geht nicht, mindestens 2 aber
schon: eine Parallelverschiebung hat unendlich viele
zueinander parallele Fixgeraden, und bei der Identität
ist sogar jede Gerade sowohl Fixgerade als auch Fix-
punktgerade.
Gruß Al
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Danke
das leuchtet mir ein.
MfG
Danyal
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hallo
> Erstens mal muß der Ortsvektor einer möglichen
> Fixgeraden
> ein Fixpunkt sein.
>
> Die Richtungsvektoren der Fixgeraden sind durch die
> Eigenwerte von
>
> [mm]\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }[/mm]
>
> bestimmt.
>
> Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor,
> der dann Richtungsvektor der Fixgeraden ist.
Genau hierzu habe ich eine Frage: Wenn der Eigenvektor der Richtungsvektor der Fixgeraden ist,dann kann man doch von einer Fixgeraden nur dann ausgehen,wenn beide Eigenvektoren gleich oder kollinear sind oder?
Würd mich über jede hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Danyal
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Hallo mathegenie_90,
> hallo
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> > Erstens mal muß der Ortsvektor einer möglichen
> > Fixgeraden
> > ein Fixpunkt sein.
> >
> > Die Richtungsvektoren der Fixgeraden sind durch die
> > Eigenwerte von
> >
> > [mm]\pmat{ 3,4 & 0,8 \\ -0,6 & 0,8 }[/mm]
> >
> > bestimmt.
> >
> > Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor,
> > der dann Richtungsvektor der Fixgeraden ist.
>
> Genau hierzu habe ich eine Frage: Wenn der Eigenvektor der
> Richtungsvektor der Fixgeraden ist,dann kann man doch von
> einer Fixgeraden nur dann ausgehen,wenn beide Eigenvektoren
> gleich oder kollinear sind oder?
Das ist richtig.
>
> Würd mich über jede hilfe freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Danyal
>
Gruss
MathePower
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hallo und danke für die schnelle hilfe
Was ich fragen wollte ist,dass es auch für die Fixpunktgerade gilt oder?
MfG
Danyal
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Fixgerade
