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| Aufgabe | a1) Es sei I ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall in R und f : I → I stetig. Zeigen Sie,
dass f einen Fixpunkt x0 ∈ I besitzt, also eine Stelle x0 ∈ I mit f(x0) = x0.
a2) Kann man in a1) auf eine der Forderungen an I, also Beschränktheit oder Abgeschlossenheit,
verzichten? |
Hallo,
ich habe das mit beschränkt und abgeschlossen eigentlich verstanden, aber in diesem Fall verstehe ich den Zusammenhang mit den Fixpunkten nicht wirklich. Vor allem auch nicht, weshalb in der a2) ann steht, dass man diese Forderung auf Beschränktheit und Abgeschlossenheit evtl. auch weglassen kann!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 So 16.12.2007 | | Autor: | blascowitz |
Noch mal guten Morgen und einen schönen dritten Advent
Also das klingt sehr nach dem Banach'schen Fixpunktsatz.
Hattet ihr den Satz von Heine-Borel schon, das jede beschränkte und abgeschlossene Menge kompakt ist.
Dann weißt du das f als stetige Funktion auf einem KOmpakten intervall gleichmäßig stetig ist.
f ist eine Selbstabbildung von I [mm] \rightarrow [/mm] I.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Einen schönen Tach noch
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Bedeutet das dann, dass ich sagen kann, dass, da f eine Abbildung von I auf I ist ja folgt, dass ein f(x0) =x0 ist, weil ja jeder Punkt auf sich selbst abgebildet wird?
Den Satz haben wir, aber dass f stetig ist ist ja die Angabe und man soll argumentieren, wieso f dann einen Fixpunkt besitzt.
Und kann ich denn eines der beiden Argumente, Beschränktheit oder Abgeschlossenheit, deswegen weglassen, weil sich das von selbst ergibt, da I ja auf I abgebildet wird? Oder habe ich da etwas flasch verstanden? Geht es womöglich nicht so einfach?
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> Bedeutet das dann, dass ich sagen kann, dass, da f eine
> Abbildung von I auf I ist ja folgt, dass ein f(x0) =x0 ist,
> weil ja jeder Punkt auf sich selbst abgebildet wird?
> Den Satz haben wir, aber dass f stetig ist ist ja die
> Angabe und man soll argumentieren, wieso f dann einen
> Fixpunkt besitzt.
>
> Und kann ich denn eines der beiden Argumente,
> Beschränktheit oder Abgeschlossenheit, deswegen weglassen,
> weil sich das von selbst ergibt, da I ja auf I abgebildet
> wird? Oder habe ich da etwas flasch verstanden? Geht es
> womöglich nicht so einfach?
$x$ ist ein Fixpunkt von $f$ genau dann, wenn $f(x)=x$ bzw. äquivalent dazu, wenn $f(x)-x=0$ ist.
Dies legt nahe, den Zwischenwertsatz auf die stetige Funktion $g(x) := f(x)-x$ anzuwenden: Sei also $I=[a;b]$. Dann ist, wegen $f(I)=I$:
[mm]g(a)=f(a)-a\geq 0 \qquad \text{ und }\qquad g(b)=f(b)-b\leq 0[/mm]
Aus dem Zwischenwertsatz folgt somit die Existenz eines [mm] $x\in[a;b]$ [/mm] mit $g(x)=f(x)-x=0$, was zu zeigen war.
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