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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Di 06.12.2005 | | Autor: | Eumel09 |
Hallo,
ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Die Funktion f : [0,1] [mm] \mapsto [/mm] [0,1] sei stetig. Zeigen sie dass f mindestens einen fixpunkt besitzt, also es ein c gibt mit f(c)=c.
Wenn ich mir die Funktion g(x) = x aufzeichne, kann ich leicht sehen, dass eine stetige Funkton f diese Funtion schneiden muss, sonst müsste die funktion f einen Sprung habne oder so haben. Ich weiß leider nur nicht, wie man das Mathematisch korrekt zeigen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Di 06.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter:
> Die Funktion f : [0,1] [mm]\mapsto[/mm] [0,1] sei stetig. Zeigen sie
> dass f mindestens einen fixpunkt besitzt, also es ein c
> gibt mit f(c)=c.
> Wenn ich mir die Funktion g(x) = x aufzeichne, kann ich
> leicht sehen, dass eine stetige Funkton f diese Funtion
> schneiden muss, sonst müsste die funktion f einen Sprung
> habne oder so haben. Ich weiß leider nur nicht, wie man das
> Mathematisch korrekt zeigen kann.
Betrachte die Funktion $h : [0,1] [mm] \to \IR, \; [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) - x$. Genau dann ist $h(x) = 0$, wenn $f(x) = x$ ist, also $x$ ein Fixpunkt von $f$ ist. Weiterhin ist $h(0) [mm] \ge [/mm] 0$ und $h(1) [mm] \le [/mm] 0$. Hilft dir das?
HTH Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 06.12.2005 | | Autor: | Eumel09 |
Hallo nochmal,
erstmal Dankeschön Felix.Dein Ansatz hilft mir sehr, hoffe ich.
Ich habe es jetzt folgendermaßen begründet:
Wir wissen, dass g stetig ist. Das bedeutet, dass g einen Minimal- und einen Maximalwert besitzt. Der Minimalwert muss kleiner gleich null sein( wegen h(1) [mm] \le [/mm] 0) und der Maximalwert muss größer gleich null sein(wegen h(0) [mm] \ge [/mm] 0). Laut zwischenwertsatz nimmt eine stetige Funktion jeden Wert zwischen Maximalwert und Minimalwert an, also auch die null. Da g(x) = f(x) -x , ist f(x) - x für mindestens ein x [mm] \in [/mm] [0,1] gleich 0.
Also existiert mindestens ein x für das gilt: f(x) = x [mm] \Box
[/mm]
Stimmt's so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Di 06.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hi,
> erstmal Dankeschön Felix.Dein Ansatz hilft mir sehr, hoffe
> ich.
das freut mich!
> Ich habe es jetzt folgendermaßen begründet:
>
> Wir wissen, dass g stetig ist. Das bedeutet, dass g einen
> Minimal- und einen Maximalwert besitzt. Der Minimalwert
> muss kleiner gleich null sein( wegen h(1) [mm]\le[/mm] 0) und der
> Maximalwert muss größer gleich null sein(wegen h(0) [mm]\ge[/mm]
> 0). Laut zwischenwertsatz nimmt eine stetige Funktion jeden
> Wert zwischen Maximalwert und Minimalwert an, also auch die
> null. Da g(x) = f(x) -x , ist f(x) - x für
> mindestens ein x [mm]\in[/mm] [0,1] gleich 0.
> Also existiert mindestens ein x für das gilt: f(x) = x
> [mm]\Box[/mm]
>
> Stimmt's so?
Fast. Es koennte naemlich sein, dass g(x) niemals negativ oder niemals positiv wird. Aber dann ist entweder g(0) = 0 oder g(1) = 0 und man ist sowieso fertig. Und wenn beides nicht der Fall ist hat man sowieso einen Wert echt kleiner 0 und einen echt groesser 0 und man kann gleich den Zwischenwertsatz anwenden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Marietta |
| Aufgabe | Die Funktion $f : [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ sei stetig.
Zeigen Sie, dass $f$ mindestens einen Fixpunkt besitzt, also es ein $c$ gibt mit $f(c)=c$.
Betrachte die Funktion $h : [0,1] [mm] \to \IR, \; [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) - x$.
Genau dann ist $h(x) = 0$, wenn $f(x) = x$ ist, also $x$ ein Fixpunkt von $f$ ist. Weiterhin ist $h(0) [mm] \ge [/mm] 0 $ und $ h(1) [mm] \le [/mm] 0 $. |
Hallo,
Ich verstehe nicht ganz wieso [mm] h(0)\ge0 [/mm] und h(1) [mm] \le0.
[/mm]
Wir wissen doch nur, dass h(0)=f(0) und h(1)=f(1)-1, aber über
f(x) wissen wir ja gar nichts (außer das f(x) stetig in dem Intervall ist). Oder habe ich etwas übersehen?
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Fr 16.12.2005 | | Autor: | statler |
> Die Funktion f : [0,1] [mm]\mapsto[/mm] [0,1] sei stetig. Zeigen
> sie
> dass f mindestens einen fixpunkt besitzt, also es ein c
> gibt mit f(c)=c.
> Betrachte die Funktion [mm]h : [0,1] \to \IR, \; x \mapsto f(x) - x [/mm].
> Genau dann ist h(x) = 0, wenn f(x) = x ist, also x ein
> Fixpunkt von f ist. Weiterhin ist [mm]h(0) \ge 0[/mm] und [mm]h(1) \le 0 [/mm].
>
> Hallo,
> Ich verstehe nicht ganz wieso [mm]h(0)\ge0[/mm] und h(1) [mm]\le0.[/mm]
> Wir wissen doch nur, dass h(0)=f(0) und h(1)=f(1)-1, aber
> über
> f(x) wissen wir ja gar nichts (außer das f(x) stetig in
> dem Intervall ist). Oder habe ich etwas übersehen?
> Gruß Marietta
Aber Marietta, f landet doch im Intervall von 0 bis 1, also liegt f(0) zwischen 0 und 1 und ist damit positiv, und wenn ich von f(1) 1 abziehe, bin ich zwischen -1 und 0 gelandet.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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