Fixpunktbestimmung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Do 05.01.2006 | | Autor: | Thoron |
| Aufgabe | | Unter der Annahme dass f das Intervall [a,b] in sich selbst abbildet, das heißt f ([a,b]) [mm] \subset [/mm] [a,b], besitzt f mindestens einen Fixpunkt [mm] \delta \in [/mm] [a,b] für den gilt f ( [mm] \delta [/mm] ) = [mm] \delta [/mm] |
Das oben muss ich beweisen. Hab jetzt eigentlich nur ne kleine Frage dazu. In den Beweisen aus der Vorlesung bzw aus Büchern wird immer davon ausgegangen das f(a)<0 und f(b)> 0 ist (oder umgekehrt). Dann könnte ich das mit dem Nullstellensatz von Bolzano beweisen. Was aber nun wenn f(a)<0 und f(b)> 0 ist (oder umgekehrt) nicht gilt? Also wenn sowohl f(a) als auch f(b) größer 0 sind. Das sollte es doch auch geben, oder irre ich mich da schon?
Wie würde ich es denn in so einem Fall beweisen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Unter der Annahme dass f das Intervall [a,b] in sich selbst
> abbildet, das heißt f ([a,b]) [mm]\subset[/mm] [a,b], besitzt f
> mindestens einen Fixpunkt [mm]\delta \in[/mm] [a,b] für den gilt f
> ( [mm]\delta[/mm] ) = [mm]\delta[/mm]
> Das oben muss ich beweisen. Hab jetzt eigentlich nur ne
> kleine Frage dazu. In den Beweisen aus der Vorlesung bzw
> aus Büchern wird immer davon ausgegangen das f(a)<0 und
> f(b)> 0 ist (oder umgekehrt). Dann könnte ich das mit dem
> Nullstellensatz von Bolzano beweisen. Was aber nun wenn
> f(a)<0 und f(b)> 0 ist (oder umgekehrt) nicht gilt? Also
> wenn sowohl f(a) als auch f(b) größer 0 sind. Das sollte es
> doch auch geben, oder irre ich mich da schon?
> Wie würde ich es denn in so einem Fall beweisen
Du meinst erstmal sicher eine stetige Funktion $f$, oder?
Betrachte die Funktion $g : [a, b] [mm] \to \IR$, [/mm] $g(x) := f(x) - x$. Dann hat $f$ genau dann einen Fixpunkt, wenn $g$ eine Nullstelle hat. Schau dir $g(a)$ und $g(b)$ an. Hilft dir das?
Uebrigens, in den Buechern (wo du das oben her hast) wird sicher die Funktion $g$ gemeint sein :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 05.01.2006 | | Autor: | Thoron |
Ja, eine stetige Funktion.
In den Büchern wird (Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis) wird mal von f und g gesprochen. Im Allgemeinen Fixpunktsatz steht ".... f(x):=x-g(x) in (a,b) eine Nullstelle besitzt, wenn .... "
Und weiter unten im Zwischenwertsatz von Bolzano wird dann mal von g(x):=f(x)- /mu gesprochen.
Den hast du oben genutzt, oder?
Aber so langsam glaub ich das ich bei dem ganzen nen rießen Verständnisfehler drinn hab weswegen ich bei der Aufgabe Probleme hab.
Deswegen muss ich mal fragen:
Ist ein Fixpunkt immer eine Nullstelle? Oder kann das auch ein anderer Punkt sein? mh, jo, hab grad noch bissel überlegt: Ein Fixpunkt ist ja f(x)=x
Also zb f(3)=3 --> (3,3) richtig, oder?
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Zur Erklärung: "Fix-" kommt vom lateinischen fixus für deutsch fest. Ein Fixpunkt ist also ein Punkt, der unter einer Abbildung fest bleibt. Bei einer Geradenspiegelung z.B. sind alle Punkte der Spiegelachse Fixpunkte. Bei einer Punktspiegelung ist dagegen nur das Spiegelzentrum ein Fixpunkt. (Ein etwas abgelegeneres Beispiel: Wenn du den Prozeß des Ableitens als Abbildung auffaßt, die eine Funktion auf eine andere Funktion abbildet, dann ist die e-Funktion ein "Fixpunkt" für diesen Prozeß.)
Und nach diesen Beispielen aus der Geometrie jetzt zur Analysis. Dort übernimmt man die geometrische Sprechweise und nennt den Wert [mm]x[/mm] Fixpunkt, falls [mm]f(x) = x[/mm] gilt. Wenn also z.B. [mm]f(103) = 103[/mm] gilt, dann heißt [mm]x=103[/mm] Fixpunkt.
Und jetzt beachte, daß [mm]f[/mm] eine stetige Funktion sein soll. Dann ist aber auch die durch
[mm]g(x) = f(x) - x[/mm]
definierte Funktion [mm]g[/mm] stetig (denn Stetigkeit bleibt bei den Grundrechenarten erhalten, und auch die Funktion [mm]h[/mm] mit [mm]h(x)=x[/mm] ist ja stetig). Und jetzt wende auf die Funktion [mm]g[/mm] den Zwischenwertsatz an, d.h. zeige, daß [mm]g(a)[/mm] und [mm]g(b)[/mm] unterschiedliche Vorzeichen haben müssen.
Anschaulich sagt dieser Fixpunktsatz übrigens: Wenn man in einem Quadrat eine Kurve vom linken zum rechten Rand zeichnet, so muß diese Kurve die Diagonale schneiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 05.01.2006 | | Autor: | Thoron |
Alles klar.
Danke euch beiden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 05.01.2006 | | Autor: | Thoron |
sry, nochmal ne kleine Frage.
Hab jetzt nochmal in den Büchern gestöbert. Dort steht beim Allgemeinen Fixpunktsatz "... zu zeigen, dass die Funktion f(x):=x-g(x) in (a,b) eine Nullstelle besitzt wenn f(a) <0 und f(b)>0 ist. Und das wiederum kann ich ja dann mit dem Nullstellensatz von Bolzano beweisen: "Ist die Funktion f auf dem Intervall [a,b] stetig und ist überdies f(a)<0 und f(b)>0 so besitzt sie mindestens eine Nullstelle in (a,b).
Wenn ich nun die Funktion f(x):=x-g(x) aus dem Allgemeinen Fixpunktsatz umstelle bekomme ich da ja g(x)=x-f(x)
Da ist zwar x und f(x) genau andersrum wie ihr sagtet, aber da beide ja identisch sind also f(x)=x läuft das ja aufs selbe hinaus: Womit ich also bei g(x)=f(x)-x bin.
Nun also nur noch mit der Vorausetzung das f(a) <0 und f(b)>0 ist beweisen das es ein Nullpunkt gibt und damit dann den Fixpunkt beweisen?
Eine frage bleibt allerdings immer noch, wie zu beginn. Darf ich f(a) <0 und f(b)>0 als Vorraussetzung annehmen wenn es nicht in der Aufgabenstellung steht?
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Nein. Was das Vorzeichen von [mm]f(a)[/mm] oder [mm]f(b)[/mm] angeht, so kannst du dazu überhaupt nichts sagen. Du darfst darüber auch keine Annahmen machen.
Ich glaube, du hast noch nicht verstanden, worauf es hier ankommt: Du mußt zeigen, daß [mm]g(a)[/mm] ein anderes Vorzeichen als [mm]g(b)[/mm] hat. Dann kannst du auf [mm]g[/mm] den Zwischenwertsatz anwenden. Und nach Definition von [mm]g[/mm] ist eine Nullstelle [mm]\xi[/mm] von [mm]g[/mm] ein Fixpunkt von [mm]f[/mm]. Ob du dabei mit dem [mm]g[/mm], das wir zuvor hatten, arbeitest oder mit dem, das du jetzt eingeführt hast, ist egal. Nur: Festlegen mußt du dich jetzt, sonst gibt das ein heilloses Durcheinander. Ich gebe dir den entscheidenden Tip: [mm]f[/mm] ist eine Abbildung, die das Intervall [mm][a,b][/mm] mit [mm]a
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