Fixpunktaufgabe < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:22 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Kirsche |
| Aufgabe | Es ist folgende Fixpunktaufgabe gegeben:
[mm] f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.1x^2+0.1y^2+0.1z^2 \\ 0.1x+0.1y+0.1z \\ 0.1xyz+0.3 \end{pmatrix}
[/mm]
Zu zeigen ist, dass die Aufgabe in [0,1]x[0,1]x[0,2] genau eine Lösung besitzt.
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Muss ich nun den Fixpunktsatz für kontrahierende Abbildungen anwenden, bzw zeigen ,dass die Abbildung kontrahierend ist?
Wie genau macht man das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 So 21.01.2007 | | Autor: | Kirsche |
Ist es richtig, dass ich nun ein [mm] \lambda [/mm] finde muss, so dass gilt:
[mm] \parallel f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] - [mm] f\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \parallel \le \lambda \parallel \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \parallel
[/mm]
wenn ich das alles einsetze und umforme, kommt da ein riesiger term raus, aus dem ich das [mm] \lambda [/mm] nicht erkennen kann.
Wie kann ich es anders machen?
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Hallo Kirsche
> [mm]\parallel f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] -
> [mm]f\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \parallel \le \lambda \parallel \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
> - [mm]\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \parallel[/mm]
>
> wenn ich das alles einsetze und umforme, kommt da ein
> riesiger term raus, aus dem ich das [mm]\lambda[/mm] nicht erkennen
> kann.
> Wie kann ich es anders machen?
Einfache wird es bei differenzierbaren Funktionen über die Ableitung funktionieren. Die Norm der Ableitung ist eine Obergrenze für das lambda.
viele Grüße
mathemaduenn
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