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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 25.04.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Zeigen Sie, dass}$
[/mm]
[mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ [/mm] \ \ [mm] f(x):=e^{x-1} [/mm] - [mm] e^{1-x}$
[/mm]
[mm] $\text{bijektiv ist und genau einen Fixpunkt }x^{*}\text{ besitzt.}$
[/mm]
[mm] $\text{Bestimmen Sie }x^{*}\text{ näherungsweise mit einem Fehler von weniger als }10^{-2}.$
[/mm]
[mm] $\text{\emph{Hinweis: }Man kann auch mit der Umkehrfunktion arbeiten!}$ [/mm] |
Hallo. Das ist die Aufgabe. Das Problem ist, dass nie gezeigt wurde, wie ich bei so einer komplizierten Gleichung den Fixpunkt ausrechnen kann.
Ich brauch schon mal den Banach'schen Fixpunktsatz.
Frage 1: Ist schon f eine Kontraktion oder erst die Umkehrfunktion?
=> [mm] $\exists \theta \in [/mm] (x,y): |f(x)-f(y)| = [mm] |f'(\theta)||x-y| [/mm] = [mm] |e^{\theta-1}+e^{1-\theta}||x-y|$
[/mm]
=> f Kontraktion => f hat Fixpunkt (??)
Frage 2: Fixpunkt berechnen.
Also, die Umkehrfunktion habe ich bestimmt, sie lautet:
[mm] $f^{-1}(x):= 1+\ln\left(\dfrac12 +\dfrac12\sqrt{x^2+4}\right)$
[/mm]
Nun, wie mach ich weiter damit? Oder doch anders?
Und wie zeige ich die Bijektivität?
Hoffe auf Hilfe.
Danke und Gruß
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Ich arbeite gerade an der gleichen Aufgabe.
Die Bijektivität habe ich nachgewiesen, indem ich gezeigt habe, dass f streng monoton ist und dass es einen Vorzeichenwechsel gibt.
Du musst also zeigen, dass f'(x)<0 oder >0 ist und dass der Limes für x [mm] \to \infty [/mm] anders ist als der Limes für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Beim Rest kann ich dir im Moment leider nicht helfen.
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Hi,
du kannst nachweisen, dass f(x) genau einen Fixpunkt besitzt, indem du die Gleichung f(x)=x (Fixpunktgleichung) in g(x) = f(x) -x umformst und dann nachweist, dass g(x) genau eine Nullstelle besitzt (-> g muss dann bijektiv sein)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:19 Do 26.04.2007 | | Autor: | peter_d |
danke schon mal
und wie bring ich da die genauigkeit von [mm] 10^{-2} [/mm] rein?
danke und gruß
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> und wie bring ich da die genauigkeit von [mm]10^{-2}[/mm] rein?
Hallo,
also mal angenommen, daß Du den ![[]](/images/popup.gif) Banachschen Fixpunktsatzanwenden KÖNNTEST, könntest Du die entsprechenden a priori- bzw. a posteriori-Fehlerabschätzungen verwenden.
Aber wie gesagt: bei der Funktion wird das wohl nicht gehen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
nachdem wir inzwischen wissen, daß es sich um die Funktion f(x)=$ [mm] e^{x-1}-e^{1-x} [/mm] $ handelt,
und Du, wie Du schreibst, die Nullstelle von g(x):=f(x)-x mit dem Newtonverfahren berechnet hast,
kann man die Genauigkeit der Näherung abschätzen:
Sei g: [a,b] --> [mm] \IR [/mm] zweimal differenzierbar und konvex, g(a)<0 und g(b)>0.
Dann konvergiert das Newtonverfahren gegen ein p [mm] \in [/mm] ]a,b[ mit g(p)=0.
wenn [mm] x_n [/mm] das n-te Glied der Newton-Iteration ist, so kann man den Fehler wie folgt abschätzen:
Ist [mm] g(p)\ge [/mm] C>0 und ist [mm] f''(x)\le [/mm] K für alle x [mm] \in [/mm] ]p,b[,
so gilt
[mm] |x_{n+1}-x_n|\le [/mm] p-x-n| [mm] \le \bruch{K}{2C}\le|x_n-x_{n-1}|
[/mm]
Also Intervall kannst Du ja [0,2] nehmen.
Gruß v. Angela
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> [mm]\text{Zeigen Sie, dass}[/mm]
> [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ f(x):=e^{x-1}+e^{1-x}[/mm]
>
> [mm]\text{bijektiv ist und genau einen Fixpunkt }x^{*}\text{ besitzt.}[/mm]
>
> [mm]\text{Bestimmen Sie }x^{*}\text{ näherungsweise mit einem Fehler von weniger als }10^{-2}.[/mm]
>
> [mm]\text{\emph{Hinweis: }Man kann auch mit der Umkehrfunktion arbeiten!}[/mm]
>
Hallo,
ich bin jetzt etwas verwirrt ob dieser Aufgabe:
Die Funktion f ist doch nicht bijektiv auf [mm] \IR, [/mm] schon deshalb nicht, weil sie überall >0 ist.
Als nächstes habe ich sie gezeichnet und festgestellt: sie hat keinen Fixpunkt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Do 26.04.2007 | | Autor: | peter_d |
da muss ich mich leider korrigieren, du hast so weit recht, aber die funktion lautet [mm] $e^{x-1}-e^{1-x}$...
[/mm]
war irgendwie schon bei der ableitung
so, und f ist dann auch bijektiv und hat auch einen fixpkt bei ca. 1.8, das hab ich nun mit newtonschen approximationsverfahren ausgerechnet.
trotzdem danke für dein bemühen :)
gruß
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