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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Sa 28.01.2012 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Wir betrachten die Schwartzfunktion
[mm]f:\IR\to\IR[/mm]
[mm]x \mapsto e^{\frac{-x^2}{2}}[/mm]
(i) Zeigen Sie [mm]f(0)=1[/mm] und [mm]xf(x)+ \frac{d}{dx}f(x)=0[/mm] für alle x.
(ii) Zeigen Sie [mm]\mathcal{F}(f)(0) = 1[/mm] und [mm]\delta \mathcal{F}(f)(\delta) + \frac{d}{d\delta}\mathcal{F}(f)(\delta) = 0[/mm].
Bemerkung: f und [mm]\mathcal{F}(f)[/mm] erfüllen also beide die Differentialgleichung [mm]xy + y' = 0[/mm] und haben beide an 0 den Wert 1; man kann zeigen, dass dann bereits [mm]f = \mathcal{F}(f)[/mm] gelten muss, was man [mm]\mathcal{F}(f)[/mm] nicht direkt ansieht. |
Hallo liebe Matheräumler,
Ich steh hier mal wieder vor einem kleinem Problem:
Der erste Teil ist ja noch sehr einfach:
(i)
[mm]f(0)=e^{\frac{-0^2}{2}}=1[/mm]
[mm]x*f(x)+ \frac{d}{dx}f(x)= x*f(x)+ (-2)*\frac{x}{2}*e^{\frac{-x^2}{2}}=x*f(x)-x*f(x)=0[/mm] [mm]\forall x[/mm]
(ii)
Hier wird es nun schon schwieriger:
[mm]\mathcal{F}(f)(0)=\frac{1}{\wurzel[2]{\pi*2}}\integral_{- \infty}^{\infty}{e^{\frac{-x^2}{2}}*e^{-i*0*x} dx}=\frac{1}{\wurzel[2]{\pi*2}}\integral_{- \infty}^{\infty}{e^{\frac{-x^2}{2}}=\frac{2}{\wurzel[2]{2*\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{\frac{-x^2}{2}}[/mm]
Hier habe ich nun folgenden ![[]](/images/popup.gif) Link gefunden.
Daher betrachte ich nun folgendes:
[mm]\frac{2}{\wurzel[2]{2*\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{-(\frac{x}{\wurzel[2]{2}})^2}[/mm]
Durch Substitution: [mm]z=\frac{x}{\wurzel[2]{2}}[/mm] und [mm]\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\wurzel[2]{2}}[/mm]
Damit ergibt sich
[mm]\frac{2*\wurzel[n]{2}}{\wurzel[2]{2*\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{-z^2 dz}=\frac{2}{\wurzel[2]{\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{-z^2 dz}[/mm]
Dieses Integral ist nun nach dem link oben [mm]=\frac{\wurzel[2]{\pi}}{2}[/mm] sodass: [mm]\mathcal{F}(f)(0)=1[/mm] herauskommt.
Die Erklärung im Link habe ich noch nicht ganz verstanden.
Bei dem ersten Beitrag von "danol" beginnend bei dem in weiß:
Warum genau kann ich das Integral so auseinander nehmen, sodass ich nicht mehr über das Interval [mm][0,\infty][/mm] integriere sondern über die Fläche [mm][0,\infty]x[0,\infty][/mm]?
Warum kann ich dann das x und das y aus dem Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dz}[/mm] als Werte von einem Punkt annehmen? Also warum betrachte ich P(x,y) und darf diesen als Polarkoordinate darstellen?
Der Rest ist mir dann klar in der Erklärung.
Was mir aber noch völlig unklar ist, ist wie ich das letzte zeigen soll:
[mm]\delta \mathcal{F}(f)(\delta) + \frac{d}{d\delta}\mathcal{F}(f)(\delta) = 0[/mm]
Kann mir da vllt jemand den Ansatz zeigen?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 So 29.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Wir betrachten die Schwartzfunktion
> [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
> [mm]x \mapsto e^{\frac{-x^2}{2}}[/mm]
> (i) Zeigen Sie [mm]f(0)=1[/mm] und
> [mm]xf(x)+ \frac{d}{dx}f(x)=0[/mm] für alle x.
> (ii) Zeigen Sie [mm]\mathcal{F}(f)(0) = 1[/mm] und [mm]\delta \mathcal{F}(f)(\delta) + \frac{d}{d\delta}\mathcal{F}(f)(\delta) = 0[/mm].
>
> Bemerkung: f und [mm]\mathcal{F}(f)[/mm] erfüllen also beide die
> Differentialgleichung [mm]xy + y' = 0[/mm] und haben beide an 0 den
> Wert 1; man kann zeigen, dass dann bereits [mm]f = \mathcal{F}(f)[/mm]
> gelten muss, was man [mm]\mathcal{F}(f)[/mm] nicht direkt ansieht.
> Hallo liebe Matheräumler,
> Ich steh hier mal wieder vor einem kleinem Problem:
> Der erste Teil ist ja noch sehr einfach:
> (i)
> [mm]f(0)=e^{\frac{-0^2}{2}}=1[/mm]
> [mm]x*f(x)+ \frac{d}{dx}f(x)= x*f(x)+ (-2)*\frac{x}{2}*e^{\frac{-x^2}{2}}=x*f(x)-x*f(x)=0[/mm]
> [mm]\forall x[/mm]
> (ii)
> Hier wird es nun schon schwieriger:
> [mm]\mathcal{F}(f)(0)=\frac{1}{\wurzel[2]{\pi*2}}\integral_{- \infty}^{\infty}{e^{\frac{-x^2}{2}}*e^{-i*0*x} dx}=\frac{1}{\wurzel[2]{\pi*2}}\integral_{- \infty}^{\infty}{e^{\frac{-x^2}{2}}=\frac{2}{\wurzel[2]{2*\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{\frac{-x^2}{2}}[/mm]
>
> Hier habe ich nun folgenden
> Link
> gefunden.
> Daher betrachte ich nun folgendes:
> [mm]\frac{2}{\wurzel[2]{2*\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{-(\frac{x}{\wurzel[2]{2}})^2}[/mm]
>
> Durch Substitution: [mm]z=\frac{x}{\wurzel[2]{2}}[/mm] und
> [mm]\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\wurzel[2]{2}}[/mm]
> Damit ergibt sich
> [mm]\frac{2*\wurzel[n]{2}}{\wurzel[2]{2*\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{-z^2 dz}=\frac{2}{\wurzel[2]{\pi}}* \integral_{0}^{\infty}{e^{-z^2 dz}[/mm]
>
> Dieses Integral ist nun nach dem link oben
> [mm]=\frac{\wurzel[2]{\pi}}{2}[/mm] sodass: [mm]\mathcal{F}(f)(0)=1[/mm]
> herauskommt.
> Die Erklärung im Link habe ich noch nicht ganz verstanden.
> Bei dem ersten Beitrag von "danol" beginnend bei dem in
> weiß:
>
> Warum genau kann ich das Integral so auseinander nehmen,
> sodass ich nicht mehr über das Interval [mm][0,\infty][/mm]
> integriere sondern über die Fläche
> [mm][0,\infty]x[0,\infty][/mm]?
>
Man quadriert hier das Integral. Und da der Wert des Integrals natürlich nicht von der Bezeichnung der Variablen abhängt, kann man schreiben
[mm](\integral_{0}^{\infty}{e^{-(x^2)} dx})^{2}=\integral_{0}^{\infty}{e^{-(x^2)} dx\integral_{0}^{\infty}{e^{-(y^2)} dy=\integral_{0}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dxdy[/mm]
> Warum kann ich dann das x und das y aus dem Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dz}[/mm] als Werte von
> einem Punkt annehmen? Also warum betrachte ich P(x,y) und
> darf diesen als Polarkoordinate darstellen?
Naja. Du integrierst jetzt über zwei Unabhängige und kannst den Transformationssatz anwenden. Was genau ist dir denn daran unverständlich?
>
> Der Rest ist mir dann klar in der Erklärung.
>
> Was mir aber noch völlig unklar ist, ist wie ich das
> letzte zeigen soll:
> [mm]\delta \mathcal{F}(f)(\delta) + \frac{d}{d\delta}\mathcal{F}(f)(\delta) = 0[/mm]
>
> Kann mir da vllt jemand den Ansatz zeigen?
Schreib mal [mm]\frac{d}{d\delta}\mathcal{F}(f)(\delta)[/mm] aus, und beachte dass du den Differentialoperator ins Integral ziehen darfst (Warum?). Benutze dann partielle Integration.
Viele Grüße,
Berieux
>
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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