Fixkörper berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 13.12.2005 | | Autor: | Micha |
| Aufgabe | Sei $f(t) = [mm] t^4-2 \in \IQ \left[ t \right]$. [/mm] Bestimme zu sämtlichen Untergruppen H von [mm] $G(f,\IQ)$ [/mm] ihre Fixkörper im Zerfällungskörper [mm]E/ \IQ[/mm] von f.
Hinweis es gilt $G(f, [mm] \IQ) \cong D_4$. [/mm] Und dann [mm] $D_4 [/mm] = [mm] \{ \sigma^i \tau^j | 0 \le i \le 3 , 0 \le j \le 1 \} [/mm] $ |
Hallo!
Also ich hab schon dass $E = [mm] \IQ (\wurzel[4]{2} [/mm] , i)$ ist und damit die Erweiterung Grad 8 hat. Im Bosch steht ein solches Beispiel auch allgemein mit folgendem Beispiel:
$f = [mm] (X^2 -a)^2 [/mm] -b$. Die Nullstellen sind dann [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \wurzel{a+\wurzel{b}}$,$\beta [/mm] = [mm] \wurzel{a-\wurzel{b}}$,
[/mm]
$- [mm] \alpha$, [/mm] $- [mm] \beta$
[/mm]
Der Bosch schreibt nun die Fixkörper lassen sich berechnen, indem man "geeignete Elemente vom Grad 2 oder 4 in E betrachtet, die unter den obigen Gruppen invariant sind".
Aber wenn ich z.B. U = [mm] $\{ id, \tau \}$ [/mm] z.B: nehme ist das doch gleich V = [mm] $\{ id, \sigma^2 \}$ [/mm] oder sehe ich das falsch?
Wir haben dann ausserdem so einen Erzeuger des Fixkörper mit Hilfe der Spur über U berechnet,... aber wenn ich da ein beliebiges Element einsetze kommt da immer 0 raus:
[mm] $Spur_U [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] ) = [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] + [mm] \tau [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{2}) [/mm] = [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] - [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] = 0$ :-(
Vielleicht weiss ja jemand nen Tipp...
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 27.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Sei [mm]f(t) = t^4-2 \in \IQ \left[ t \right][/mm]. Bestimme zu
> sämtlichen Untergruppen H von [mm]G(f,\IQ)[/mm] ihre Fixkörper im
> Zerfällungskörper [mm]E/ \IQ[/mm] von f.
>
> Hinweis es gilt [mm]G(f, \IQ) \cong D_4[/mm]. Und dann [mm]D_4 = \{ \sigma^i \tau^j | 0 \le i \le 3 , 0 \le j \le 1 \}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Also ich hab schon dass [mm]E = \IQ (\wurzel[4]{2} , i)[/mm] ist und
> damit die Erweiterung Grad 8 hat. Im Bosch steht ein
> solches Beispiel auch allgemein mit folgendem Beispiel:
>
> [mm]f = (X^2 -a)^2 -b[/mm]. Die Nullstellen sind dann [mm]\alpha = \wurzel{a+\wurzel{b}}[/mm],[mm]\beta = \wurzel{a-\wurzel{b}}[/mm],
>
> [mm]- \alpha[/mm], [mm]- \beta[/mm]
>
> Der Bosch schreibt nun die Fixkörper lassen sich berechnen,
> indem man "geeignete Elemente vom Grad 2 oder 4 in E
> betrachtet, die unter den obigen Gruppen invariant sind".
>
> Aber wenn ich z.B. U = [mm]\{ id, \tau \}[/mm] z.B: nehme ist das
> doch gleich V = [mm]\{ id, \sigma^2 \}[/mm] oder sehe ich das
> falsch?
Du siehst das falsch. Warum sollte das so sein? (Weisst du was [mm] $D_4$ [/mm] ist? Wenn nein, schau das mal nach, dann siehst du gleich warum das nicht der Fall ist.)
> Wir haben dann ausserdem so einen Erzeuger des Fixkörper
> mit Hilfe der Spur über U berechnet,... aber wenn ich da
> ein beliebiges Element einsetze kommt da immer 0 raus:
>
> [mm]Spur_U ( \wurzel[4]{2} ) = \wurzel[4]{2} + \tau ( \wurzel[4]{2}) = \wurzel[4]{2} - \wurzel[4]{2} = 0[/mm]
> :-(
Welcher Automorphismus ist fuer dich [mm] $\tau$? [/mm] Versuche doch mal, die Automorphismen [mm] $\tau$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] explizit anzugeben so, dass sie mit der Definition von [mm] $D_4$ [/mm] oben uebereinstimmen (und dann schau dir die Spur nochmal an!). Und dann ueberleg dir mal, wie die Rechenregeln in [mm] $D_4$ [/mm] aussehen, also was herauskommt wenn du [mm] $(\sigma^i \tau^j) (\sigma^k \tau^\ell)$ [/mm] wieder in der Form [mm] $\sigma^x \tau^y$ [/mm] schreiben willst.
Und als naechstes bestimmst du dann die Untergruppen von [mm] $D_4$. [/mm] Abgesehen von den trivialen gibt es vier der Ordnung 2 und eine der Ordnung 4. (Wenn ich mich jetzt richtig erinnere.)
So und wenn du das hier alles gemacht hast und immer noch nicht weiter kommst, dann meld dich doch nochmal.
LG Felix
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