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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine ganze Zahl, sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei
f : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus.
1. Zeigen Sie : Es existiert ein Paar [mm] (V_{Nil}, V_{Iso}) [/mm] von f-invarianten Untervektorräumen von V , so
dass
a) [mm] V_{Nil}\oplus V_{Iso} [/mm] = V,
b) [mm] f|_{V_{Nil}} [/mm] ein nilpotenter Endomorphismus ist,
c) [mm] f|_{V_{Iso}} [/mm] ein Isomorphismus ist.
Hinweis : Das Minimalpolynom μ_f ist von der Form [mm] X^l [/mm] P, wobei l [mm] \ge [/mm] 0 eine ganze Zahl und P [mm] \in [/mm] K[X] mit P(0) [mm] \not= [/mm] 0 sind. Sie können den Satz 17.10 aus der Vorlesung
benutzen.
2. Zeigen Sie, dass das Paar (VNil, VIso) eindeutig bestimmt ist.
3. Sei g : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus mit [mm] g\circ [/mm] f = f [mm] \circ [/mm] g
Zeigen Sie :
[mm] g(V_{Nil})\subseteq V_{Nil} [/mm] und [mm] g(V_{Iso}) \subseteq V_{Iso}. [/mm] |
Hallo, ich verstehe in erster Linie überhaupt nicht wie ich das machen soll.
Satz 17.10 lautet:
f: V [mm] \to [/mm] V Endomorphismus, P polynom, welches vielfaches des minimalpolynoms [mm] (\mu_f [/mm] ist.
Sei [mm] P=Q_1 Q_2 [/mm] mit [mm] Q_1, Q_2 [/mm] teilerfremde polynome Dann gilt:
(1) [mm] Kern(Q_1(f))=Bild(Q_2(f))
[/mm]
[mm] Kern(Q_2(f))=Bild(Q_1(f))
[/mm]
(2) V= [mm] Ker(Q_1(f)) \oplus Ker(Q_2(f))
[/mm]
Ich habe weder einen Ansatz noch eine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
MfG
CPH
PS: Ich danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 17.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> Satz 17.10 lautet:
> f: V [mm]\to[/mm] V Endomorphismus, P polynom, welches vielfaches
> des minimalpolynoms [mm](\mu_f[/mm] ist.
>
> Sei [mm]P=Q_1 Q_2[/mm] mit [mm]Q_1, Q_2[/mm] teilerfremde polynome Dann
> gilt:
>
> (1) [mm]Kern(Q_1(f))=Bild(Q_2(f))[/mm]
> [mm]Kern(Q_2(f))=Bild(Q_1(f))[/mm]
> (2) V= [mm]Ker(Q_1(f)) \oplus Ker(Q_2(f))[/mm]
Ich würde diesem Satz direkt auf das Minimalpolynom anwenden:
Es sei:
[mm] $\mu_f=x^l [/mm] p(x)$ (wie im Tipp)
Da [mm] $Q_1(x)=x^l$ [/mm] und [mm] $Q_2(x)=p(x)$ [/mm] teilerfremd sind, gilt:
$V = [mm] Ker(Q_1(f)) \oplus Ker(Q_2(f))$
[/mm]
Setze:
[mm] $V_{Nil}=Ker(Q_1(f))$ [/mm] und [mm] $V_{Iso}=Ker(Q_2(f))$
[/mm]
dann gilt a):
Hier musst Du nur noch zeigen, dass [mm] $V_{Nil}$ [/mm] und [mm] $V_{Iso}$ [/mm] f- invariant sind.
Beweise nun b) und c)
Benutze dabei die algebraische Teilung der Eins:
[mm] $Q_1(x)$ [/mm] und [mm] $Q_2(x)$ [/mm] teilerfremd:
Es exisitieren Polynome [mm] $R_1(x)$ [/mm] und [mm] $R_2(x)$ [/mm] mit
[mm] $R_1(x)Q_1(x) [/mm] + [mm] R_2(x)Q_2(x)=1$
[/mm]
Beachte, dass die 1 das konstante Polynom mit dem Wert 1 ist.
Setze nun f ein und mache Dir klar, was f eingesetzt in das Polynom $g(x)=1$ bedeutet ...
Wenn Du das soweit hinbekommst, klappt vielleicht 2) und 3) von alleine ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank erst einmal, ich verstehe jedoch noch so einiges nicht:
> > Satz 17.10 lautet:
> > f: V [mm]\to[/mm] V Endomorphismus, P polynom, welches
> vielfaches
> > des minimalpolynoms [mm](\mu_f[/mm] ist.
> >
> > Sei [mm]P=Q_1 Q_2[/mm] mit [mm]Q_1, Q_2[/mm] teilerfremde polynome Dann
> > gilt:
> >
> > (1) [mm]Kern(Q_1(f))=Bild(Q_2(f))[/mm]
> > [mm]Kern(Q_2(f))=Bild(Q_1(f))[/mm]
> > (2) V= [mm]Ker(Q_1(f)) \oplus Ker(Q_2(f))[/mm]
>
> Ich würde diesem Satz direkt auf das Minimalpolynom
> anwenden:
>
> Es sei:
> [mm]\mu_f=x^l p(x)[/mm] (wie im Tipp)
>
> Da [mm]Q_1(x)=x^l[/mm] und [mm]Q_2(x)=p(x)[/mm] teilerfremd sind, gilt:
>
> [mm]V = Ker(Q_1(f)) \oplus Ker(Q_2(f))[/mm]
>
> Setze:
>
> [mm]V_{Nil}=Ker(Q_1(f))[/mm] und [mm]V_{Iso}=Ker(Q_2(f))[/mm]
>
> dann gilt a):
> Hier musst Du nur noch zeigen, dass [mm]V_{Nil}[/mm] und [mm]V_{Iso}[/mm] f-
> invariant sind.
>
Das klingt logisch, aber wie zeige ich, dass ein unterraum f- invariant ist?
> Beweise nun b) und c)
>
> Benutze dabei die algebraische Teilung der Eins:
>
> [mm]Q_1(x)[/mm] und [mm]Q_2(x)[/mm] teilerfremd:
>
> Es exisitieren Polynome [mm]R_1(x)[/mm] und [mm]R_2(x)[/mm] mit
>
> [mm]R_1(x)Q_1(x) + R_2(x)Q_2(x)=1[/mm]
>
> Beachte, dass die 1 das konstante Polynom mit dem Wert 1
> ist.
>
> Setze nun f ein und mache Dir klar, was f eingesetzt in das
> Polynom [mm]g(x)=1[/mm] bedeutet ...
>
>
Was bringt mir diese aussage für b und c ??
> Wenn Du das soweit hinbekommst, klappt vielleicht 2) und 3)
> von alleine ...
Ich bin ja leider nicht soweit gekommen...
MfG
CPH
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 17.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> Das klingt logisch, aber wie zeige ich, dass ein unterraum
> f- invariant ist?
Indem Du zeigst: $f(U) [mm] \subset [/mm] U$
Sei $v [mm] \in V_{Nil}$, [/mm] dann gilt: [mm] $f^l(v)=0$, [/mm] damit gilt auch:
[mm] $f^l(f(v))=f^{l+1}(v)=f(f^l(v))=f(0)=0$, [/mm] also $f(v) [mm] \in V_{Nil}$
[/mm]
Sei $v [mm] \in V_{Iso}$, [/mm] dann gilt: $[p(f)](v)=0$, damit gilt auch:
$[p(f)](f(v))=[f(p(f))](v)=f([p(f)](v)) = f (0) = 0$ , also $f(v) [mm] \in V_{Iso}$
[/mm]
> Was bringt mir diese aussage für b und c ??
Okay, diese Zerlegung der Eins brauchst Du wohl eher zum Beweis des Satzes.
b) ist trivial
c) Für $v [mm] \in V_{Iso}$ [/mm] ist $f(v) [mm] \in V_{Iso}$ [/mm] nach a). Es sei ferner $f(v) = 0$, d.h. $v [mm] \in [/mm] Ker(f)$. Dann ist aber auch [mm] $f^l(v)=0$, [/mm] d.h. $v [mm] \in V_{Nil}$. [/mm] Wiederum aus a) [direkte Summe] folgt:
v=0
Damit ist f eingeschränkt auf [mm] $V_{Iso}$ [/mm] injektiv. Da V endlich dimensional ist, ist f eingeschränkt auf [mm] $V_{Iso}$ [/mm] somit schon bijektiv.
2) Du nimmst Dir eine beliebige Zerlegung mit den verlangten Eigenschaften ($V'_{Nil} [mm] \oplus [/mm] V'_{Iso}$). Es reicht dann beispielsweise zu zeigen (wegen endlich dimensional und direkte Summe), dass [mm] $V_{Nil}=V'_{Nil}$ [/mm] ist.
3) Zu [mm] $g(V_{Nil})\subset V_{Nil}$:
[/mm]
Berechne einfach [mm] $f^l \circ [/mm] g(v)$ für $v [mm] \in V_{Nil}$
[/mm]
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