Finde passende \alpha und \psi < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Finden Sie passende [mm] \alpha \in \IR [/mm] und [mm] \psi \ge [/mm] 0, sodass
2sin(x) + 7 cos(x) = [mm] \psi sin(x+\alpha) [/mm] |
Ok, da ich nicht weis wie ich vorzugehen habe, schreibe ich einfach einmal meine Gedanke dazu auf!
1)
2sin(x) + 7 cos(x) = [mm] \psi sin(x+\alpha)
[/mm]
Ich setze sin(x) = (1- cos(x)):
2(1-cos(x)) + 7 cos(x) = 2-2cos(x) + 7cos(x) [mm] \Rightarrow [/mm] cos(x) = - [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
Keine Ahnung ob dies etwas bringt:
2) Dann dachte ich mir, ich spalte [mm] \psi sin(x+\alpha) [/mm] mittels Summeformel auf:
[mm] \psi sin(x+\alpha) [/mm] = [mm] \psi [/mm] (sin(x) [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] sin(\alpha) [/mm] cos(x))
Das ausmultipiziert ergibt:
[mm] \psi [/mm] sin(x) [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] \psi sin(\alpha) [/mm] cos(x)
Wenn ich diese Gleichung habe müsste doch:
[mm] \underbrace{\psi cos(\alpha)}_{2}sin(x) [/mm] + [mm] \underbrace{\psi sin(\alpha)}_{7} [/mm] cos(x)
ergeben. Also entstehen folgende Gleichungen:
[mm] \psi cos(\alpha) [/mm] = 2
[mm] \psi sin(\alpha) [/mm] = 7
Ich forme die erste Gleichung nach [mm] \psi [/mm] um und setze ich die 2te ein:
[mm] \psi [/mm] = [mm] \bruch{2}{cos(\alpha)}
[/mm]
Einsetzen:
[mm] \bruch{2}{cos(\alpha)} sin(\alpha) [/mm] = 7
= [mm] \bruch{2}{1} [/mm] * [mm] \bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha} [/mm] = 7
=2 * [mm] tan(\alpha) [/mm] = 7 [mm] \Rightarrow tan(\alpha) [/mm] = 7/2
Danke euch :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> Finden Sie passende [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]\psi \ge[/mm] 0, sodass
>
> 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> Ok, da ich nicht
> weis wie ich vorzugehen habe, schreibe ich einfach einmal
> meine Gedanke dazu auf!
>
> 1)
> 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
>
> Ich setze sin(x) = (1- cos(x)):
Uuhaa ! Seit wann gilt das denn !!
Da hast Du was verwechselt, es ist [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] oder Du bist ein "die -Wurzel - ist - linear - Meinung -Haber". Da bist Du aber ein Unrechthaber, denn
[mm] \wurzel{a^2+b^2} \ne \wurzel{a^2}+ \wurzel{b^2}
[/mm]
>
> 2(1-cos(x)) + 7 cos(x) = 2-2cos(x) + 7cos(x) [mm]\Rightarrow[/mm]
> cos(x) = - [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>
> Keine Ahnung ob dies etwas bringt:
>
> 2) Dann dachte ich mir, ich spalte [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> mittels Summeformel auf:
>
> [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm] = [mm]\psi[/mm] (sin(x) [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]sin(\alpha)[/mm]
> cos(x))
>
> Das ausmultipiziert ergibt:
>
> [mm]\psi[/mm] sin(x) [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]\psi sin(\alpha)[/mm] cos(x)
>
> Wenn ich diese Gleichung habe müsste doch:
>
> [mm]\underbrace{\psi cos(\alpha)}_{2}sin(x)[/mm] +
> [mm]\underbrace{\psi sin(\alpha)}_{7}[/mm] cos(x)
>
> ergeben. Also entstehen folgende Gleichungen:
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> [mm]\psi cos(\alpha)[/mm] = 2
> [mm]\psi sin(\alpha)[/mm] = 7
>
> Ich forme die erste Gleichung nach [mm]\psi[/mm] um und setze ich
> die 2te ein:
>
> [mm]\psi[/mm] = [mm]\bruch{2}{cos(\alpha)}[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]\bruch{2}{cos(\alpha)} sin(\alpha)[/mm] = 7
>
> = [mm]\bruch{2}{1}[/mm] * [mm]\bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha}[/mm] = 7
>
> =2 * [mm]tan(\alpha)[/mm] = 7 [mm]\Rightarrow tan(\alpha)[/mm] = 7/2
dein 2. Ansatz ist der Richtige.
FRED
>
>
> Danke euch :)
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> > Hi,
> >
> > Finden Sie passende [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]\psi \ge[/mm] 0, sodass
> >
> > 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> > Ok, da ich
> nicht
> > weis wie ich vorzugehen habe, schreibe ich einfach einmal
> > meine Gedanke dazu auf!
> >
> > 1)
> > 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> >
> > Ich setze sin(x) = (1- cos(x)):
>
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> Uuhaa ! Seit wann gilt das denn !!
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> Da hast Du was verwechselt, es ist [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
> oder Du bist ein "die -Wurzel - ist - linear - Meinung
> -Haber". Da bist Du aber ein Unrechthaber, denn
>
> [mm]\wurzel{a^2+b^2} \ne \wurzel{a^2}+ \wurzel{b^2}[/mm]
>
Ach.....danke :)
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> >
> > 2(1-cos(x)) + 7 cos(x) = 2-2cos(x) + 7cos(x) [mm]\Rightarrow[/mm]
> > cos(x) = - [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> >
> > Keine Ahnung ob dies etwas bringt:
> >
> > 2) Dann dachte ich mir, ich spalte [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> > mittels Summeformel auf:
> >
> > [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm] = [mm]\psi[/mm] (sin(x) [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]sin(\alpha)[/mm]
> > cos(x))
> >
> > Das ausmultipiziert ergibt:
> >
> > [mm]\psi[/mm] sin(x) [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]\psi sin(\alpha)[/mm] cos(x)
> >
> > Wenn ich diese Gleichung habe müsste doch:
> >
> > [mm]\underbrace{\psi cos(\alpha)}_{2}sin(x)[/mm] +
> > [mm]\underbrace{\psi sin(\alpha)}_{7}[/mm] cos(x)
> >
> > ergeben. Also entstehen folgende Gleichungen:
> >
> > [mm]\psi cos(\alpha)[/mm] = 2
> > [mm]\psi sin(\alpha)[/mm] = 7
> >
> > Ich forme die erste Gleichung nach [mm]\psi[/mm] um und setze ich
> > die 2te ein:
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> > [mm]\psi[/mm] = [mm]\bruch{2}{cos(\alpha)}[/mm]
> >
> > Einsetzen:
> >
> > [mm]\bruch{2}{cos(\alpha)} sin(\alpha)[/mm] = 7
> >
> > = [mm]\bruch{2}{1}[/mm] * [mm]\bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha}[/mm] = 7
> >
> > =2 * [mm]tan(\alpha)[/mm] = 7 [mm]\Rightarrow tan(\alpha)[/mm] = 7/2
>
> dein 2. Ansatz ist der Richtige.
Aber wie mache ich jetzt weiter?
>
> FRED
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> >
> > Danke euch :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Hi,
> > >
> > > Finden Sie passende [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]\psi \ge[/mm] 0, sodass
> > >
> > > 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> > > Ok, da
> ich
> > nicht
> > > weis wie ich vorzugehen habe, schreibe ich einfach einmal
> > > meine Gedanke dazu auf!
> > >
> > > 1)
> > > 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> > >
> > > Ich setze sin(x) = (1- cos(x)):
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> > Uuhaa ! Seit wann gilt das denn !!
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> > Da hast Du was verwechselt, es ist [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm]
> > oder Du bist ein "die -Wurzel - ist - linear - Meinung
> > -Haber". Da bist Du aber ein Unrechthaber, denn
> >
> > [mm]\wurzel{a^2+b^2} \ne \wurzel{a^2}+ \wurzel{b^2}[/mm]
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> Ach.....danke :)
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> > > 2(1-cos(x)) + 7 cos(x) = 2-2cos(x) + 7cos(x) [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > cos(x) = - [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> > >
> > > Keine Ahnung ob dies etwas bringt:
> > >
> > > 2) Dann dachte ich mir, ich spalte [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm]
> > > mittels Summeformel auf:
> > >
> > > [mm]\psi sin(x+\alpha)[/mm] = [mm]\psi[/mm] (sin(x) [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]sin(\alpha)[/mm]
> > > cos(x))
> > >
> > > Das ausmultipiziert ergibt:
> > >
> > > [mm]\psi[/mm] sin(x) [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]\psi sin(\alpha)[/mm] cos(x)
> > >
> > > Wenn ich diese Gleichung habe müsste doch:
> > >
> > > [mm]\underbrace{\psi cos(\alpha)}_{2}sin(x)[/mm] +
> > > [mm]\underbrace{\psi sin(\alpha)}_{7}[/mm] cos(x)
> > >
> > > ergeben. Also entstehen folgende Gleichungen:
> > >
> > > [mm]\psi cos(\alpha)[/mm] = 2
> > > [mm]\psi sin(\alpha)[/mm] = 7
> > >
> > > Ich forme die erste Gleichung nach [mm]\psi[/mm] um und setze ich
> > > die 2te ein:
> > >
> > > [mm]\psi[/mm] = [mm]\bruch{2}{cos(\alpha)}[/mm]
> > >
> > > Einsetzen:
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> > > [mm]\bruch{2}{cos(\alpha)} sin(\alpha)[/mm] = 7
> > >
> > > = [mm]\bruch{2}{1}[/mm] * [mm]\bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha}[/mm] = 7
> > >
> > > =2 * [mm]tan(\alpha)[/mm] = 7 [mm]\Rightarrow tan(\alpha)[/mm] = 7/2
> >
> > dein 2. Ansatz ist der Richtige.
>
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter?
[mm] \alpha [/mm] berechnen, dann [mm] \psi
[/mm]
FRED
> >
> > FRED
> > >
> > >
> > > Danke euch :)
> > >
> > >
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> > > dein 2. Ansatz ist der Richtige.
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> >
> > Aber wie mache ich jetzt weiter?
>
> [mm]\alpha[/mm] berechnen, dann [mm]\psi[/mm]
Bitte verbessere mich ob dies wirklich alles ist:
[mm] tan(\alpha) [/mm] = 7/2 [mm] \Rightarrow [/mm] arctan(7/2) = [mm] \alpha \rightarrow \alpha [/mm] = 74.05
Ok dies nun eingesetz ergibt:
[mm] \psi [/mm] * [mm] cos(\alpha) [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow \psi [/mm] = 2/ cos(74.05) [mm] \rightarrow \psi [/mm] = 7,28
Also lautet die Gleichung:
2sin(x) + 7 cos(x) = $ 7,28 sin(x+74,05) $
mfg
>
> FRED
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > >
> > > > Danke euch :)
> > > >
> > > >
> > >
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Hallo Steffen2361,
> > > > dein 2. Ansatz ist der Richtige.
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> > > Aber wie mache ich jetzt weiter?
> >
> > [mm]\alpha[/mm] berechnen, dann [mm]\psi[/mm]
>
> Bitte verbessere mich ob dies wirklich alles ist:
>
> [mm]tan(\alpha)[/mm] = 7/2 [mm]\Rightarrow[/mm] arctan(7/2) = [mm]\alpha \rightarrow \alpha[/mm]
> = 74.05
>
> Ok dies nun eingesetz ergibt:
>
> [mm]\psi[/mm] * [mm]cos(\alpha)[/mm] = 2 [mm]\Rightarrow \psi[/mm] = 2/ cos(74.05)
> [mm]\rightarrow \psi[/mm] = 7,28
>
>
> Also lautet die Gleichung:
>
> 2sin(x) + 7 cos(x) = [mm]7,28 sin(x+74,05)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> mfg
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> > FRED
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> > > > FRED
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> > > > >
> > > > > Danke euch :)
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>
Gruss
MathePower
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