Finde die Matrixdarstellung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde die Matrixdarstellung von [mm] \Delta_{h} [/mm] bezüglich der geordneten Basis [mm] B=\{1,x,x^2,x^3,...,x^n\}
[/mm]
[mm] \Delta_{h}:\mathcal{P}_{n}\to\mathcal{P}_{n} [/mm] ist definiert durch [mm] (\Delta_{h}p)(t)=p(t+h) [/mm] |
Ich bin das Beispiel folgenderweiße angegangen:
[mm] p\in\mathcal{P} [/mm] besitzt ja eine eindeutige Darstellung bezüglich der Basis [mm] e_{0}(t)=1, e_{1}(t)=t, e_{2}(t)=t^2..., e_{n}(t)=e^n
[/mm]
[mm] p(t)=a_0+a_1t+a_{2}t^2+...+a_{n}t^n=a_0e_{0}(t)+...+e_{n}(t)
[/mm]
Dann muss sich ja wegen
(t+h)=t+h
[mm] (t+h)^2=t^2+2th+h^2
[/mm]
.
.
.
[mm] (t+h)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}t^{n-k}h^k
[/mm]
p(t+h) ergeben, ich weiß nur nicht wie, und ob der Ansatz überhaupt richtig ist. Ich würde mich um ein klein wenig Hilfe freuen.
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> Finde die Matrixdarstellung von [mm]\Delta_{h}[/mm] bezüglich der
> geordneten Basis [mm]B=\{1,x,x^2,x^3,...,x^n\}[/mm]
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> [mm]\Delta_{h}:\mathcal{P}_{n}\to\mathcal{P}_{n}[/mm] ist definiert
> durch [mm](\Delta_{h}p)(t)=p(t+h)[/mm]
> Ich bin das Beispiel folgenderweiße angegangen:
>
> [mm]p\in\mathcal{P}[/mm] besitzt ja eine eindeutige Darstellung
> bezüglich der Basis [mm]e_{0}(t)=1, e_{1}(t)=t, e_{2}(t)=t^2..., e_{n}(t)=t^n[/mm]
>
> [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_{2}t^2+...+a_{n}t^n=a_0e_{0}(t)+...+a_ne_{n}(t)[/mm]
>
> Dann muss sich ja wegen
>
[mm] $(\Delta_{h}e_0)(t)$=1
[/mm]
[mm] $(\Delta_{h}e_1)(t)$
[/mm]
> =(t+h)=t+h
[mm] $(\Delta_{h}e_2)(t)$=
[/mm]
> [mm](t+h)^2=t^2+2th+h^2[/mm]
> .
> .
> .
[mm] $(\Delta_{h}e_n)(t)$
[/mm]
> =[mm](t+h)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}t^{n-k}h^k[/mm]
>
> p(t+h) ergeben, ich weiß nur nicht wie,
Ja.
Es ist dann [mm] $(\Delta_{h}p)(t)=p(t+h)$=a_0+a_1(t+h)+a_2(t+h)^2+...+a_n(t+h)^n.
[/mm]
> und ob der Ansatz [mm] $(\Delta_{h}e_0)(t)$
[/mm]
> überhaupt richtig ist. Ich würde mich um ein klein wenig
> Hilfe freuen.
Das, was Du brauchst, um die Darstellungsmatrix aufzustellen, nämlich die Bilder der n+1 Basisvektoren unter der Abbildung [mm] \Delta_h, [/mm] hast Du oben schon hingeschrieben.
Du mußt die dort entstandenen Polynome nun noch als Koordinatenvektoren bzgl. B schreiben und diese als Spalten in eine Matrix stellen.
Gruß v. Angela
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Ok, also wenn ich das richtig verstanden müsste die Matrix dann so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & h & h^2 & h^3 &....& h^n \\ 0 & 1 & 2h & 3h^2 &...&n*h^{n-1} \\ 0 & 0 & 1 & 3h &...& \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 &...& 0}
[/mm]
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> Ok, also wenn ich das richtig verstanden müsste die Matrix
> dann so aussehen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & h & h^2 & h^3 &....& h^n \\
0 & 1 & 2h & 3h^2 &...&n*h^{n-1} \\
0 & 0 & 1 & 3h &...& \\
. & . & . & . \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & 0 & 0 &...& 0}[/mm]
>
>
Hallo,
unten rechts muß eine 1 hin.
Ich bin mir sicher, daß Du es richtig verstanden hast.
Allerdings könnte man beim Angucken Deiner Matrix auf die Idee kommen, daß die 5-te Spalte [mm] \vektor{h^5\\4h^3\\4h^2\\4h\\1 } [/mm] sein soll.
Du mußt das Prinzip deutlicher machen oder die Matrix als [mm] A=(a_i_k) [/mm] mit [mm] a_i_k:=... [/mm] schreiben.
Gruß v. Angela
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