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Hallo liebe Stochastik-Fans,
um meiner Vorlesung über Markovprozesse im Weiteren folgen zu können, ist es wirklich wichtig, dass ich verstanden habe, was eine Filterung ist.
Insbesondere interessiert mich die natürliche Filterung.
An einem Beispiel möchte ich sie gern verstehen:
Nehmen wir als W-Raum den Würfelraum, also Omega={1,2,3,4,5,6}, W-Maß ist die GV und die Sigma-Algebra ist auch klar (alle möglichen Teilmengen).
Zufallsvariable soll der Einfachheit halber die Identität sein, also X(omgega)=omega.
Nun soll ja die Filtration Ft die Informationen des Prozesses bis zum Zeitpunkt t beinhalten.
Sei t=3 und X1=1, X2=1, X3=2 gegeben.
Ist Ft, die natürliche Filtration, also die von X1, X2, X3 erzeugte sigma-Algebra nun {{1},{2},{1,2}, leer} oder gleich der vom W-Raum gegebenen sigma-Algebra?
Etwas allgemeiner: Wenn wir sagen "die von X1, X2,.... erzeugte sigma-Algebra" meinen wir dann in diesem Fall, die Urbilder der von den in diesem Prozess konkret angenommen Werten der Zufalssvariable oder meinen wir die sigma-Algebra, die von der ZV ganz allgemein erzeigt wird?
Ich hoffe, ich habe mich nicht allzu umständlich ausgedrückt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus!
Leo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Sei t=3 und X1=1, X2=1, X3=2 gegeben.
Hier ist eine klare zeitliche Abfolge, also haben wir Tupel, in dem Fall (1,1,2), bzw. das Ereignis {(1,1,2)}.
Dazu kannst Du Dir jetzt die zugehörige [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] basteln, aber in einer Ein-Zeitpunkt-Welt verstehen wir unter der von einer ZV erzeugten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ja auch nicht, daß wir wissen, welches Ergebnis die ZV hatte, sondern:
[mm] $\sigma(X_1)$ [/mm] ist die Menge aller Eregnisse, über deren Eintreten wir entscheiden können, wenn wir das Ergebnis des Zufallsexperiments kennen.
"Der Würfel zeigt eine 5" ist in der [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Denn wenn wir den Würfel geworfen haben, und wissen, daß es eine 1 ist, können wir uns in einer pathetischen Pose aufbauen und voll Zuversicht verkünden: Dieses Ereignis ist nicht eingetreten.
[mm] $X_1$ [/mm] erzeugt [mm] $\mathcal{F}_1=\sigma(X_1)=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] und analog erzeugt der Prozeß (nennen wir ihn M) bis Zeitpunkt 3
[mm] $\mathcal{F}_3=\sigma(M_3)=\sigma(X_1)\otimes\sigma(X_2)\otimes\sigma(X_3)=\mathcal{P}(\Omega)\otimes\mathcal{P}(\Omega)\otimes\mathcal{P}(\Omega)$
[/mm]
{(1,1,2)} ist in der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] weil wir nach den ersten 3 Würfen fest sagen können, ob das eingetreten ist oder nicht.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mi 20.04.2011 | | Autor: | leonardo11 |
Vielen Dank! Auf die Idee Tupel zu bilden, bin ich gar nicht gekommen!
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