Filter auf Hausdorffraum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie die nachstehende Behauptung:
Ein Ultrafilter auf einem Hausdorffraum ist entweder konvergent oder er besitzt keinen Häufungspunkt. |
Hallo,
Nun gut ich beginne mal
Sei X ein Hausdorffraum.
Behauptung 1: Jeder Ultrafilter konvergiert gegen höchstens einen Punkt
Beweis:
Seien x,y [mm] \in [/mm] X und F ein Ultrafilter welcher gegen ein x und gegen ein y konvergiert also Verfeinerungen der Umgebung U(x) und U(y).
Man betrachte nun beliebige A [mm] \in [/mm] U(x) und B [mm] \in [/mm] U(y) somit sind dann A,B [mm] \in [/mm] F also auch A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] F und damit A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset.
[/mm]
Da X nun hausdorffsch ist folgt x = y.
andere Richtung:
angenommen X sei nicht hausdorffsch so gibt es x,y [mm] \in [/mm] X mit x [mm] \neq [/mm] y wobei A [mm] \in [/mm] U(x) und B [mm] \in [/mm] U(y) allerdings mit A [mm] \cap [/mm] B [mm] \neq \emptyset.
[/mm]
U(x) und U(y) sind die jeweiligen Umgebungsfilter insofern Filter. Es gibt also eine Filterbasis Y für die Gilt Y [mm] \supset [/mm] U(x) und Y [mm] \supset [/mm] U(y) also ein Filter der gemeinsame Verfeinerung von U(x) und U(y) ist.
Somit folgt dass die Konvergenz eines Ultrafilters in einem Hausdorffraum gegen höchsten einen Punkt stattfindet.
Meint ihr passt das ?
Gruß und Dank
Thomas
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Man könnte das natürlich noch etwas genauer ausführen aber ich denke dass ich die Behauptung gezeigt habe.
Eventuell hätte ich noch die Tatsache dass auch kein HP möglich ist ausführen sollen?
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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