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| Aufgabe | | Berechne ohne Matrizenultiplikation A^10 |
Meine Matrix lautet:
(0 1)
(1 1)
Da [mm] A(F_n,F_n+1)=(F_n+1,F_n+2) [/mm] bzw. A(x,y)=(y,x+y)
[mm] F_n [/mm] ist die Fibonaccirekursion.
Wie berechne ich nun A^10??
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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ok, dann habe ich
A^10=(34 55)
(55 89)
Muss ich dass denn noch ausrechnen...z.B die Determinante oder so...
Ich kann das doch nicht so einfach stehen lassen. Als Tipp wurde mir noch gesagt, dass man die j-te Spalte einer Matrix A erhält, indem man die dazugehörige lineare Abbildung A auf den j-ten Einheitsvektor anwendet. Kann damit aber nicht so wirklich was mit anfangen.
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upps die Matrix ist etwas verrutscht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 07.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also wenn die Aufgabe nur war A^10 auszurechnen musst du keine Determinante mehr berechnen...
Du musst allerdings noch schnell per Induktion zeigen, dass [mm] $A^{i}$ [/mm] wirklich die Form hat, die ich oben geschrieben habe.
danach musst du natürlich nur noch einsetzen und bist fertig.
bekommst du das hin?
viele Grüße
DaMenge
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Ich weiß nicht genau... Ich habe sowas noch nie mit einer Matrix gemacht. Können Sie mir vielleicht helfen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Di 09.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
Induktionsanfang hast ja schon gegeben.
Für den I.schritt musst du doch nur zeigen, dass:
$ [mm] A^{i+1}=\pmat{F_{i}&F_{i+1}\\F_{i+1}&F_{i+2}} [/mm] $
Aber du weißt doch, dass $ [mm] A^{i+1}=A^{i}*A=\pmat{F_{i-1}&F_i\\F_i&F_{i+1}}*\pmat{0&1\\1&1}$ [/mm] ist.
(wg. Induktionsvorraussetzung)
Du musst dieses Produkt doch nur noch ausrechnen und sehen, dass es wirklich rauskommt.
viele Grüße
DaMenge
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