Fibonacci Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 19.11.2005 | | Autor: | YOU |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe grad folgendes Problem. Wir haben in der Algebra gerade die Fibonacci-Folge gehabt. Das Prinzip und alles ist mir klar und ja auch nicht weiter schwer. Wir sollen nun aber folgendes beweisen:
F²(n+1)+F²(n)=F(2n+1)
für alle n der natürlichen Zahlen. (Die Zahlen in Klammern, sind die Fussnoten der F)
Ich habe es durch vollständige Indutkion versucht, komme leider aber auch mit verschiedenen Ansätzen immer an einer Stelle nicht weiter. Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Bei der INduktion wollte ich am Ende dann zeigen, dass
F(2k+3)=F²(k+2)+F²(k+1) ist
Vorraussetzung ist ja auch noch, dass
F(n+2)=F(n+1)+F(n) ist
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Hallo YOU,
![[willkommenir]](/images/smileys/willkommenir.png "[willkommenir]")
> Wir sollen nun aber folgendes beweisen:
>
> [mm] $F^2\left(n+1\right)+F^2\left(n\right) [/mm] = [mm] F\left(2n+1\right)$
[/mm]
Wir können die rekursive Fibonacci-Folge [mm]f_{n+2} = f_{n+1} + f_n[/mm] zunächst durch eine [mm]2\times 2\texttt{--Matrix}[/mm] in [mm]\mathbb{R}^2[/mm] darstellen. Daraus leiten wir dann deine Formel ab.
Als erstes fassen wir zwei aufeinanderfolgende Glieder der Folge in einem Spaltenvektor zusammen:
[mm]\begin{pmatrix}f_{n+2}\\f_{n+1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_{n+1}+f_n\\f_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_{n+1}\\f_n\end{pmatrix}[/mm].
Mit anderen Worten [mm]A:=\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)[/mm] erlaubt uns von einem Fibonacci-Paar zum Nächsten zu gelangen. Z.B. ist:
[mm]\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}[/mm]
Jedoch sind [mm]\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)[/mm] und [mm]\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)[/mm] die Spalten von [mm]A\![/mm]. Deswegen können wir die letzten beiden Rechenschritte zu Einem zusammenfassen:
[mm]A^2=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.[/mm]
Und was erhalten wir für [mm]A^3[/mm] ? :
[mm]A^3=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}.[/mm]
Mittels vollständiger Induktion läßt sich zeigen:
[mm]A^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix}\quad\forall n\ge 1[/mm].
Und aus [mm]A^{m+n} = A^mA^n[/mm] folgt
[mm]\begin{pmatrix}f_{m+n+1}&f_{m+n}\\f_{m+n}&f_{m+n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{m+1}&f_m\\f_m&f_{m-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix}.[/mm]
Damit erhält man nach dem Ausmultiplizieren insbesondere
[mm]f_{m+n} = f_{m-1}f_n + f_mf_{n+1}\quad\forall m\ge 1\ \forall n\ge 0.[/mm]
und für $m := n+1$ erhält man deine Aussage.
Viele Grüße
Karl
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