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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 14.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
Wer kann helfen?
Betrachte die Folge von Fibonacci, die durch a0=a1=1 und
a(n+1)=a(n-1)+an definiert ist.
Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (a(n+1)/(an) = 1 + ( [mm] \wurzel{5})/2 [/mm]
( der goldene Schnitt )
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge a(2n+1)/a(2n) monoton fallend und die Folge a(2n)/a(2n-2) monoton steigend und beschränkt ist und berechnen Sie die beiden Grenzwerte.
Wie zeige ich das. Kann mir vielleicht jemand helfen.
Danke euch.
Nadja
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Holger81 |
Ich kenne zumindest jemanden, der dir dabei weiterhelfen könnte. Ich werd ihn mal drauf ansetzen.
Man kann es zumindest auch zeichnerisch herleiten, aber ich denke das ist nicht das, was du möchtest ;)
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Ich habe die Aufgabe versucht mit dem angegebenen Hinweis zu lösen, aber ich weiß einfach nicht, wie ich den Grenzwert von a2n+1/a2n bzw von a2n/a2n-1 berechne??? Kann mir bitte jemand helfen, ich muss die Aufgaben morgen abgeben!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Do 18.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, wir haben ja:
(*) [mm] $\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}} [/mm] = [mm] \frac{a_{2n} + a_{2n-1}}{a_{2n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + \frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}}}}$.
[/mm]
Zu zeigen ist also:
[mm] $\frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}} \ge \frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}}}}$.
[/mm]
Wir setzen $x:= [mm] \frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}}$ [/mm] und müssen
$x [mm] \ge \frac{1}{1 + \frac{1}{1+x}}$
[/mm]
zeigen, also:
$x + [mm] \frac{x}{1+x} \ge [/mm] 1$.
Dies ist aber offenbar für $x [mm] \ge [/mm] 1$ erfüllt, und es gilt ja: [mm] $\frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}} \ge [/mm] 1$.
Ähnlich zeigt man die zweite Behauptung.
Den Grenzwert $a$ erhält man dann durch Übergang zum Grenzwert in (*):
$a= [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + a}}$.
[/mm]
Man erhält eine quadratische Gleichung, deren positive Lösung der gesuchte Grenzwert ist.
Liebe Grüße
Julius
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