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Fibonacci. vollständige Ind.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Sa 12.05.2012
Autor: Stift

Hallo, ich soll beweisen, dass [mm] Fn\le 2^{n-1} [/mm] , dabei gilt [mm] F_{0}=F_{1}=1 [/mm] und [mm] F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} [/mm]
Also den Induktionsanfang habe ich. Nur beim Ind.schritt hänge ich:
n->n+1  : [mm] F_{n+1} \le 2^{n} [/mm]
[mm] F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \le 2^{n-1}+F_{n-1} [/mm] und ab hier weiß ich nicht weiter wie ich abschätzen soll.

Lg

        
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Fibonacci. vollständige Ind.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Sa 12.05.2012
Autor: Blech


> $ [mm] F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \le 2^{n-1}+F_{n-1} [/mm] $ und ab hier weiß ich nicht weiter wie ich abschätzen soll.

[mm] $F_{n-1}\leq 2^{n-2}$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung.

Was steht dann rechts?

ciao
Stefan

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Fibonacci. vollständige Ind.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Sa 12.05.2012
Autor: Stift

Hallo, danke erstmal.
Dann steht da [mm] \le 2^{n-1}+2^{n-2} [/mm] = [mm] 2^{n}(1/2+1/4)=2^{n}*3/4 [/mm] Aber jetzt habe ich doch schon mehr als [mm] 2^{n}, [/mm] wo ich eigentlich hin wollte oder was habe ich falsch gemacht??

Bezug
                        
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Fibonacci. vollständige Ind.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Sa 12.05.2012
Autor: teo


> Hallo, danke erstmal.
>  Dann steht da [mm]\le 2^{n-1}+2^{n-2}[/mm] =
> [mm]2^{n}(1/2+1/4)=2^{n}*3/4[/mm] Aber jetzt habe ich doch schon
> mehr als [mm]2^{n},[/mm] wo ich eigentlich hin wollte oder was habe
> ich falsch gemacht??  

Du darfst hier nicht [mm] 2^n [/mm] ausklammern sondern [mm] 2^{n-2}: [/mm]
[mm]\le 2^{n-2}(2+1)[/mm] wie kannst du das jetzt noch geschickt abschätzen damit da [mm]\le 2^n[/mm] steht?

Grüße

Bezug
                                
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Fibonacci. vollständige Ind.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Sa 12.05.2012
Autor: Stift

Danke, aber ich kriege da wirklich keine sinnvolle Abschätzung hin. Kriege immer nur das selbe wie im vorigen Beitrag. Hast du vielleicht noch einen Tipp??


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Fibonacci. vollständige Ind.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Sa 12.05.2012
Autor: teo

[mm]2^{n-2}(2+1) \le 2^{n-2}(2+2)=2^{n-2}(4)=2^{n-2}2^2=2^n[/mm]

Bezug
                                                
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Fibonacci. vollständige Ind.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Sa 12.05.2012
Autor: Stift

Vielen Dank.
Auf so was komme ich nicht, aber jetzt ist das klar.

Lg

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Fibonacci. vollständige Ind.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Sa 12.05.2012
Autor: teo

Hallo,
du musst bei sowas wenn du nicht weier kommst von hinten anfangen. also wenn du [mm] 2^{n-2} [/mm] hast und [mm] 2^n [/mm] brauchst fehlen dir also noch [mm] 2^2 [/mm] und dann musst halt mal rumprobieren wie du die am besten herbekommst. und bei dieser ausklammerei ist es meistens am geschicktesten die niedrigste potenz auszuklammern...
viele grüße


Bezug
                                                                
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Fibonacci. vollständige Ind.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Sa 12.05.2012
Autor: Stift

Toll, danke für die Tipps, die werd ich mir merken:)

Lg

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