Fibonacci-Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Warum gilt für alle benachbarten Fibonacci-Zahlen der Term :
[mm] x_{1}*x_{2}+-1 [/mm] = [mm] x_{1}^2 [/mm] - [mm] x_{2}^2
[/mm]
Beispiel : 13*8+1 = [mm] 13^2 [/mm] - [mm] 8^2 [/mm]
8*5 - 1 = [mm] 8^2 [/mm] - [mm] 5^2 [/mm]
das gilt für alle Fibonacci-Zahlen egal wie groß sie sind , Hauptsache sie sind benachbart .
[mm] x_{1} [/mm] ist dabei die größere Zahl.
Da man die Differenz von nur 1 vernachlässigen kann ergibt sich hier eine ähnliche Beziehung wie beim Satz des Pythagoras ( [mm] a^2+b^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] ) , nämlich [mm] :x_{1}*x_{2} [/mm] = [mm] x_{1}^2 [/mm] - [mm] x_{2}
[/mm]
oder in Worten : entsprechen die 2 Seiten eines Rechtecks dem goldenen Schnitt , entspricht die Differenz der Quadrate, der Fläche des Rechtecks.
Gibt es Beispiele aus Wissenschaft und Technik in der diese Beziehung Anwendung findet ? Wofür ist sie vielleicht von Nutzen ?
Mfg Gerold
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 27.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Schreib die Formel mal genauer auf:
Meinst du [mm] x_{i+1}*x_{i}\pm1=x_{i+1}²-x_{i}²?
[/mm]
Dann könnte man das durch das Einsetzen der Definition mal direkt ausrechnen.
Und wann gilt -1, und wann +1? Hat das etwas mit dem Index zu tun? Gerader Index [mm] \to [/mm] + ungerader [mm] \to [/mm] - ?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Mo 28.05.2007 | | Autor: | blubli89 |
Wenn [mm] x_{i} [/mm] eine Fibonacci - Zahl meint und [mm] x_{i+1} [/mm] die nächstfolgende Fibonacci - Zahl , meine ich das. Es funktioniert mit allen Fibonacci - Zahlen , beweisen kann ich es allerdings nicht .
+1 und - 1 gelten immer abwechselnd , man sieht das wenn man mal mit der kleinsten Fibonacci - Zahl ( 0 ) anfängt .
1*0+1 = 1
[mm] 1^2 [/mm] - [mm] 0^2 [/mm] = 1
1*1 - 1 = 0
[mm] 1^2 [/mm] - [mm] 1^2 [/mm] = 0
2*1+1 = 3
[mm] 2^2 [/mm] - [mm] 1^2 [/mm] =3
3*2 - 1= 5
[mm] 3^2 [/mm] - [mm] 2^2 [/mm] = 5
5*3+1 = 16
[mm] 5^2 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm] = 16
usw.
ich denke das es bei einem ungeraden Index +1 und bei geradem Index - 1
ist , stimmt´s ? Oder etwa umgekehrt ?
Naja , du siehst ja meinen Mathebackground .
Gerold
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 28.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo,
zum letzten Teil kann ich dir ne Antwort geben.
In der Architektur ist der goldene Schnitt dadurch gegeben, dass es das Seitenverhältnis eines Rechtecks ist, wenn man davon das Quadrat der kürzeren Seite abschneidet, bleibt wieder ein ähnliches Rechteck über. daraus ergibt sich deine Beziehung,
nach einem direkten Bew. über die Def. der Zahlen hab ich nicht nachgedacht.
Eben seh ich, dass das ganz leich mit vollst Ind. zu beweisen ist.
man muss von [mm] x_{k+1}*x_k [/mm] + 1 [mm] =x_{k+1}^2-x_k^2
[/mm]
auf [mm] x_{k+2}*x_{k+1}- [/mm] 1 [mm] =x_{k+2}^2-x_{k+1}^2 [/mm]
schliessen und die [mm] Def:x_{k+2}=x_{k+1}+x_k [/mm] verwenden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 So 03.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
