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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 09.12.2015 | | Autor: | Gooly |
Hallo,
Ich weiß die Fib.-Reihe ergibt sich nach:
[mm] f_{n} [/mm] = [mm] f_{n-1} [/mm] + [mm] f_{n-2}
[/mm]
und das n-te Element erhalte ich durch:
[mm] f_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}\*( (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)
[/mm]
Gibt es eine einfache Formel oder Regel mit der ich die vorherige einer gegebenen Fib.-Zahl erhalte, wenn mir nur diese eine bekannt ist?
Beispielsweise habe ich nur 144 und suche die vorherige Fib.Zahl 85, aber ohne entweder von 1 aufzusummieren bis 144 oder mit der o.a. Formel alle n ab 1 durchzuprobieren.
Gibt's das, geht das?
Vielen Dank!
PS: hab's schon gefunden. Vorgänger ~ Fib.Zahl/1,618
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mi 09.12.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
Huhu :)
> Ich weiß die Fib.-Reihe ergibt sich nach:
Folge, nicht Reihe!
>
> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]f_{n-1}[/mm] + [mm]f_{n-2}[/mm]
>
> und das n-te Element erhalte ich durch:
>
> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}\*( (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^n[/mm]
> - [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^n)[/mm]
wenn die Anfangswerte [mm] $f_1=1$ [/mm] und [mm] $f_2=1$ [/mm] sind.
>
> Gibt es eine einfache Formel oder Regel mit der ich die
> vorherige einer gegebenen Fib.-Zahl erhalte, wenn mir nur
> diese eine bekannt ist?
Interessante Frage:
Was du doch eig. nur machen muesstest, ist die Gleichung [mm] $f_n=...$ [/mm] nach $n$ umzustellen. Dann weisst du, an welcher Stelle quasi deine Fibonaccizahl steht und kannst $n-1$ in die Formel einsetzen.
Hast du dir mal den Wikipedia Artikel zu den Fibonaccizahlen durchgelesen? Da siehst du insbesondere, dass du [mm] $f_n$ [/mm] auch schreiben kannst als
[mm] $f_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left[\Phi^n-\left(-\frac{1}{\Phi}\right)^n\right]$
[/mm]
mit [mm] $\Phi [/mm] = [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Bei gegebenem [mm] $f_n$ [/mm] muesstest du diese Gleichung nach $n$ aufloesen koennen.
>
> Beispielsweise habe ich nur 144 und suche die vorherige
> Fib.Zahl 85, aber ohne entweder von 1 aufzusummieren bis
> 144 oder mit der o.a. Formel alle n ab 1 durchzuprobieren.
>
> Gibt's das, geht das?
Sieht so aus ;)
>
> Vielen Dank!
>
> PS: hab's schon gefunden. Vorgänger ~ Fib.Zahl/1,618
Das ist nur eine (An)naeherung (siehe Wikipedia!).
Gruss,
Chris
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Hiho,
es geht auch ohne umstellen nach n.
Ein bisschen Umformen der expliziten Darstellung liefert:
[mm] $f_{n-1} [/mm] = [mm] 2f_n [/mm] - [mm] \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} [/mm] - [mm] \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}$
[/mm]
Was genau das ist, was du haben willst.
Einziges Manko: Dir muss neben der Fibonacci-Zahl auch bekannt sein, welche es ist.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Do 10.12.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hiho,
Huhu :)
>
> es geht auch ohne umstellen nach n.
> Ein bisschen Umformen der expliziten Darstellung liefert:
>
> [mm]f_{n-1} = 2f_n - \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}[/mm]
>
Huebsch :)
> Was genau das ist, was du haben willst.
> Einziges Manko: Dir muss neben der Fibonacci-Zahl auch
> bekannt sein, welche es ist.
Ich glaube, wenn ich es richtig verstanden habe, dass genau DAS das Problem ist. Es sei eben z.B. nur 144 als Fibonaccizahl gegeben und nichts weiteres. Und dann muss man erstmal herausfinden, um welche Fibonaccizahl es sich handelt. Oder uebersehe ich gerade irgendwas? :)
>
> Gruß,
> Gono
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Do 10.12.2015 | | Autor: | hippias |
Ist $f$ eine Fib.zahl, so ist ihr Index einer der $4$ Werte [mm] $\log_{\alpha}\left(\frac{\sqrt{5}f}{2}\pm\sqrt{\frac{5f^2}{4}\pm 1}\right)$, [/mm] wobei [mm] $\alpha= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann sollte es möglich sein, dies noch weiter einzuschränken. Ist $n$ gerade, so ist die zweite Zahl $+1$. Das erste Minus, kann nur mit $-1$ unter der Wurzel kombiniert werden.
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