Fermat Euler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Fr 20.05.2011 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Pierre de Fermats Vermutung, alle Fermatzahlen [mm] F_{k} [/mm] := [mm] 2^{2^{k}} [/mm] + 1 seien prim, wurde 1732 von Leonhard Euler mit der zusammengesetzten Zahl [mm] F_{5} [/mm] = [mm] 2^{32} [/mm] + 1 widerlegt. Folgere aus den beiden Gleichungen
641 = [mm] 5*2^{7} [/mm] + 1 und 641 = [mm] 5^{4} [/mm] + [mm] 2^{4}
[/mm]
die Gültigkeit von [mm] 641|(2^{32} [/mm] + 1). |
Meine Lösung:
als 1. 641 = [mm] 5*2^{7} [/mm] + 1 -> [mm] 5*2^{7} [/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 641 -> [mm] 5*2^{7} \equiv [/mm] -1 mod 641
Diese Kongruenz gilt auch, wenn man jede Seite mit sich selbst multipliziert, also die vierte Potenz erhebt.
-> [mm] 5^{4} [/mm] * [mm] 2^{28} \equiv [/mm] 1 mod 641 (Zwischenergebnis)
als 2. 641 = [mm] 5^{4} [/mm] + [mm] 2^{4} [/mm] -> [mm] 5^{4} [/mm] + [mm] 2^{4} \equiv [/mm] 0 mod 641 -> [mm] 5^{4} \equiv -2^{4} [/mm] mod 641
Man kann also im Zwischenergebnis [mm] 5^{4} [/mm] durch [mm] -2^{4} [/mm] ersetzen:
-> [mm] -2^{4} [/mm] * [mm] 2^{28} \equiv [/mm] 1 mod 641
-> [mm] 2^{32} [/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 641
also 641| [mm] (2^{32} [/mm] +1 )
Stimmt das so??
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