Feldstärke im Kugelkondensator < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Kugelkondensator mit geschichtetem Dielektrikum:
Innere Elektrode: [mm] r_1=10mm
[/mm]
[mm] r_2=20mm, r_3=40mm, r_4=41mm
[/mm]
[mm] r_1 [/mm] - [mm] r_2: \epsilon_1=2
[/mm]
[mm] r_2 [/mm] - [mm] r_3: \epsilon_2=100
[/mm]
[mm] r_3 [/mm] - [mm] r_4: \epsilon_3=1
[/mm]
U=10kv |
Hallo,
bei obiger Aufgabe soll ich die Feldstärke an verschieden Stellen berechnen. Zuerst an der inneren Elektrode. D.h. [mm] r=r_1 [/mm] und [mm] \epsilon=\epsilon_1
[/mm]
[mm] D=\bruch{Q}{4\pi*r^2}
[/mm]
[mm] E=\bruch{Q}{4\pi*r^2*\epsilon}
[/mm]
Q=C*U
Hier hänge ich. Wie soll ich denn auf Q kommen um die Feldstärke berechnen zu können?
Ich könnte natürlich die 3 Cs berechnen und in Reihe schalten. Für C brauch ich aber Q...
Edit:
[mm] C=\bruch{\epsilon*A}{l}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{C_1}=\integral_{r_1}^{r_2}{\bruch{1}{\epsilon*A}dr}=\integral_{10mm}^{20mm}{\bruch{1}{\epsilon_0*2*4\pi*r^2}dr}=\bruch{1}{8\pi*\epsilon_0}(\bruch{1}{20mm}-\bruch{1}{10mm})=> C_1=4,451pF
[/mm]
[mm] C_2=445,1pF
[/mm]
[mm] C_3=182,5pF
[/mm]
C=4,345pF
Q=C*U=43,45nC
[mm] E_{iE}=\bruch{43,45nC}{4\pi*\epsilon_0*2*(10mm)^2}=1,95MV/m
[/mm]
Kann das sein?
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Ich rechne so:
[mm] U=\integral [/mm] E(x) dx.
Dabei nimmt E ungekehrt proportional mit dem Radiusquadrat ab, aber auch umgekehrt proportional zu [mm] \epsilon_{relativ}.
[/mm]
Ich setze für den Radius r=1m und [mm] \epsilon_{relativ}=1 [/mm] einen festen, mir aber unbekannten Ausgangswert Ê an. Nun integriere ich über den Radius bis nach außen:
[mm] U_1= [/mm] Ê* [mm] \integral_{0,01m}^{0,02m}{\bruch{1 m^2}{2*r^2} dr} [/mm] = Ê*25 m
[mm] U_2= [/mm] Ê* [mm] \integral_{0,02m}^{0,04m}{\bruch{1 m^2}{100*r^2} dr} [/mm] = Ê*0,25 m
[mm] U_3= [/mm] Ê* [mm] \integral_{0,04m}^{0,041m}{\bruch{1 m^2}{1*r^2} dr} [/mm] = Ê*0,61 m.
Daraus ergibt sich: [mm] U=U_1+U_2+U_3= [/mm] Ê*25,86 m = 10.000 V.
Division ergibt Ê = 386,7 V/m (Feldstärke in 1 m Entfernung bei [mm] \epsilon_{relativ}=1).
[/mm]
Damit lässt sich nun alles errechnen:
[mm] E|_{0,01m}^{0,02m}=386,7 V/m*\bruch{1m^2}{2*r^2} [/mm] gibt z.B. bei [mm] r_1 [/mm] den Wert 1,9335 MV/m, also praktisch deinen Wert.
[mm] E|_{0,02m}^{0,04m}=386,7 V/m*\bruch{1m^2}{100*r^2}
[/mm]
[mm] E|_{0,04m}^{0,041m}=386,7 V/m*\bruch{1m^2}{1*r^2}
[/mm]
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