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| Aufgabe | Auf einem Tisch befinden sich gut durchgemischt eine größere Menge von Perlen der Größen 1 und 2. Ihre Anzahl verhält sich zueinander wie 3 zu 7 (Nullhypothese) oder umgekehrt. Um zu testen, welches der beiden Verhältnisse zutrifft, werden vom Tisch 10 Perlen zufällig entnommen. Sind mehr als 4 Perlen der Größe 1 in der Stichprobe, so wird man sich für die größere Wahrscheinlichkeit entscheiden, ansonsten für die kleinere.
a) Welche Fehler können Auftreten? Wie groß sind die Fehlerwahrscheinlichkeiten. |
N'Abend zusammen,
mir bereitet bei dieser Aufgabe eigentlich nur Probleme, wie jetzt die Hypothese explizit lautet und mit welcher/n Wahrscheinlichkeit/en ich hier eigentlich rechnen muss. Ich vermute, dass sowohl der Fehler 1. Art (Hypothese abgelehnt, obwohl wahr) als auch der Fehler 2. Art (Hypothese angenommen, obwohl unwahr auftreten können, oder nicht? Jetzt habe ich mir gedacht, dass der Annahmebereich [mm] $\mathrm{A}=[5;10]$ [/mm] lautet. Für die 1. Fehlerwahrscheinlichkeit müsste ich ja dann rechnen [mm] $\mathrm{P}(\mathrm{Fehler~1.~Art})=\mathrm{Bernoulli}_{10;??}\left(X\le 4\right)$. [/mm] Doch welche Wahrscheinlichkeit liegt hier zugrunde?
Danke, schon mal,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend Stefan,
> Auf einem Tisch befinden sich gut durchgemischt eine
> größere Menge von Perlen der Größen 1 und 2. Ihre Anzahl
> verhält sich zueinander wie 3 zu 7 (Nullhypothese) oder
> umgekehrt. Um zu testen, welches der beiden Verhältnisse
> zutrifft, werden vom Tisch 10 Perlen zufällig entnommen.
> Sind mehr als 4 Perlen der Größe 1 in der Stichprobe, so
> wird man sich für die größere Wahrscheinlichkeit
> entscheiden, ansonsten für die kleinere.
>
> a) Welche Fehler können Auftreten? Wie groß sind die
> Fehlerwahrscheinlichkeiten.
> N'Abend zusammen,
>
> mir bereitet bei dieser Aufgabe eigentlich nur Probleme,
> wie jetzt die Hypothese explizit lautet und mit welcher/n
> Wahrscheinlichkeit/en ich hier eigentlich rechnen muss.
[mm] $H_0 \colon [/mm] p = [mm] \frac{3}{10}$
[/mm]
[mm] $H_1 \colon [/mm] p = [mm] \frac{7}{10}$
[/mm]
So etwas nennt man Alternativtest.
> Ich
> vermute, dass sowohl der Fehler 1. Art (Hypothese
> abgelehnt, obwohl wahr) als auch der Fehler 2. Art
> (Hypothese angenommen, obwohl unwahr auftreten können, oder
> nicht?
so ist es.
> Jetzt habe ich mir gedacht, dass der Annahmebereich
> [mm]\mathrm{A}=[5;10][/mm] lautet.
Nein, das ist der Ablehnungsbereich. "Annahme" und "Ablehnung" bezieht sich immer auf die Nullhypothese.
Für große Werte der gezogenen Stichprobe liegt auch eher eine höhere Wahrscheinlichkeit nahe, oder?
> Für die 1.
> Fehlerwahrscheinlichkeit müsste ich ja dann rechnen
> [mm]\mathrm{P}(\mathrm{Fehler~1.~Art})=\mathrm{Bernoulli}_{10;??}\left(X\le 4\right)[/mm].
> Doch welche Wahrscheinlichkeit liegt hier zugrunde?
P(Fehler 1. Art) = [mm] $\alpha [/mm] = P(X [mm] \geq [/mm] 5 [mm] \mid [/mm] p = [mm] \frac{3}{10}) [/mm] = 1 - [mm] B_{10,\frac{3}{10}}(4)$ [/mm]
Gruß
Will
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:54 Mo 29.10.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
die Ws. für eine Kugel 1 ist hier doch 0,3 und die für eine Kugel 2 0,7. Es gibt doch keine Ws. über 1, wie bei deinen 7/3. Stell dir doch mal 10 Kugeln vor, 3 davon sind A, 7 davon sind B. Sie stehen im Verhältnis 3:7 und die Ws. sind 0,3 und 0,7, wenn man eine Kugel zieht.
Wäre die Ws. 3/7, so wären von 70 Kugeln 30 A (3/7*70) und 40 B (der Rest). Nun ist 30:40 aber nicht 3:7. Geht man nach 7/3, müssten sogar 163 der 70 Kugeln B sein ;).
Grüße,
Oli
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