Fehlersuche bei de l'Hospital < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 24.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Erklären Sie, wo der Fehler bei der folgenden (falschen) Anwendung der Regel von de l'Hospital liegt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{2}*sin(1/x)}{x}= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2x*sin(1/x)-cos(1/x)}{1}.
[/mm]
Hinweis:
Überlegen Sie sich dazu, dass der linke Limes gleich 0 ist, der rechte Limes aber nicht existiert; erläutern Sie, warum dies nichtim Widerspruch zur Regel von de l'Hospital steht. |
Also, wenn man annimmt, dass der linke Limes gleich 0 Null ist, der rechte aber nicht, dann kann man L'Hospital auf den linken anwenden:
Durch Differentation ergibt [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{2}*sin(1/x)}{x}= \bruch{\limes_{x\rightarrow 0}(x^{2}*sin(1/x))'}{\limes_{x\rightarrow 0}(x)'}= \bruch{\limes_{x\rightarrow 0}(2x*sin(1/x)-cos(1/x))}{\limes_{x\rightarrow 0}1}= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2x*sin(1/x)-cos(1/x)}{1}.
[/mm]
Also, dann würde hier ein Widerspruch entstehen.
Ich glaube der Fehler an der Anwendung der Regel von de l'Hospital liegt daran, dass $sin(1/x)$ bzw. $cos(1/x)$ nicht stetig in Null sind, der Limes jedoch gegen Null strebt.
Und damit geht das nicht.
Eine andere Begründung wäre, dass $(1/x)$ [mm] \to \infty [/mm] strebt, und somit sin(1/x) sowie cos(1/x) keinen konkreten Wert annehmen, und somit es ja bei beiden keinen Limes gibt.
Ist das soweit korrekt ?
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Ich glaube, du bist auf dem Holzweg. Die l'Hospitalsche Regel setzt die Existenz eines gewissen Grenzwertes voraus. Nämlich welches?
Lies dir die Voraussetzungen der Regel noch einmal genau durch. Dann wirst du es merken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Di 24.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Achso,
die l'Hospitalsche Regel setzt nach meinen Unterlagen 0/0 oder [mm] \infty [/mm] / [mm] \infty [/mm] voraus.
Daraus folgt dann dass hier [mm] 0=\infty, [/mm] und das würde ja nicht gehen.
Ist das in etwa die richtige Richtung ?
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Die Richtung stimmt nicht.
Ich kann fast nicht mehr sagen als in meinem vorigen Beitrag, ohne schon alles zu verraten. Vielleicht so viel: Ein Blick in eine Formelsammlung genügt nicht, weil dort die Voraussetzungen aus Gründen der Platzökonomie oft nur unvollständig wiedergegeben werden. Du mußt da schon einen Blick in ein gutes Lehrbuch riskieren. Und bei der Regel von l'Hospital wird ausdrücklich die Existenz eines gewissen Grenzwertes vorausgesetzt. Darauf solltest du dein Augenmerk richten ...
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