Fehlerquadratminimum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Di 24.01.2006 | | Autor: | Eminion |
| Aufgabe | Bei der Untersuchung eines Meßwertgebers wurden folgende tabellierte Meßwertpaare aufgenommen:
[mm] \vmat{ X_{p} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ U_{p} & 6,5 & 4,2 & 3,1 & 2,1 & 1,8 }
[/mm]
Bestimmen Sie die unbekannten Parameter [mm] \alpha_{1} [/mm] und [mm] \alpha_{2} [/mm] der angenommenen (dimensionsbefreiten) Gleichung
[mm] U=\alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2}* e^{-0,5X} [/mm]
nach der Methode des Fehlerquadratminimums so, daß die Summe
s= [mm] \summe_{P=1}^{n}[ U(X_{p}) [/mm] - [mm] U_{p})] [/mm] ^{2}
minimal wird. (P: Laufvariable, n: Anzahl der Meßwertpaare) |
So mein erster artikel und auch gleich meine frage:
Wie verhält sich [mm] e^{-0,5X} [/mm] in der ganzen aufgabe??? Bzw wie muss ich es bei der rechnung oder eher beim aufstellen der matrix berücksichtigen?
Eine kleine Anmerkung die summe sollte quadriert werden hat aber nicht so ganz hingehauen :-/
Schonmal jedem danke für eine Antwort 
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://www.vorhilfe.de/read?i=122686
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Hallo Eminion,
erst einmal
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Das [mm] $e^{-0.5X}$ [/mm] verschwindet sofort, weil du deine Messwerte einsetzen musst, um Gleichungen für [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] zu erhalten. Die erste Gleichung ist
[mm] $6,5=\alpha_1+\alpha_2\cdot e^{-0,5\cdot(-2)}$, [/mm] also
[mm] $6,5=\alpha_1+{e}\alpha_2$ [/mm] oder gerundet
[mm] $6,5=\alpha_1+2,7183\alpha_2$.
[/mm]
Du bekommst fünf lineare Gleichungen, mit denen du weiterarbeiten kannst.
Wenn du noch Fragen hast, dann melde dich wieder, die Gleichungen musst du allerdings selbst aufstellen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Eminion |
HI
danke schonmal für deine antwort
könntest du mir sagen ob ich beim austellen fehler gemacht habe bzw wo diese dann liegen
[mm] \bruch{\partial Q}{\partial a_{0}} [/mm] = 0 = [mm] \summe_{i=1}^{N} [/mm] = 2*( [mm] \alpha_{0} [/mm] + [mm] \alpha_{1} e^{-0,5X_{i}} -Y_{i})*1 [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial Q}{\partial a_{1}} [/mm] = 0 = [mm] \summe_{i=1}^{N} [/mm] = 2*( [mm] \alpha_{0} [/mm] + [mm] \alpha_{1} e^{-0,5X_{i}} -Y_{i})* e^{-0,5X_{i}} [/mm]
aus den zwein würde sich ja folgendes ergeben wenn ich es richtig verstanden habe:
[mm] \pmat{ \summe_{i=1}^{5} 1 & \summe_{i=1}^{5} e^{-0,5X_{i}} \\ \summe_{i=1}^{5} e^{-0,5X_{i}} & \summe_{i=1}^{5} (e^{-0,5X_{i}} )^{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ \alpha_{0} \\ \alpha_{1} } [/mm] = [mm] \pmat{\summe_{i=1}^{5}Y_{i} \\ \summe_{i=1}^{5}Y_{i}*e^{-0,5X_{i}} }
[/mm]
würde dann ja mit zahlenwerten folgendes ergeben:
[mm] \pmat{ 5 & 6,34 \\ 6,34 & 11,61} [/mm] * [mm] \pmat{ \alpha_{0} \\ \alpha_{1} } [/mm] = [mm] \pmat{17,7 \\ 29,63 }
[/mm]
=> [mm] \alpha_{0} [/mm] = 2,79 und [mm] \alpha_{1}=-4,63
[/mm]
habe ich mich da irgendwo vertan???? würde mich über eine antwort freuen
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Hallo Eminion,
ich kann dir nicht sagen, wo der Fehler liegt, aber allein anhand der X-Y-Paare und der vorgegebenen Funktionsform ist klar, dass [mm] $\alpha_2$ [/mm] positiv sein muss.
Deine Lösung kann nicht richtig sein. Ich lass aber die Frage mal unbeantwortet stehen, ich denke jemand anderes weiß Rat.
Hugo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Wie verhält sich [mm]e^{-0,5X}[/mm] in der ganzen aufgabe??? Bzw
> wie muss ich es bei der rechnung oder eher beim aufstellen
> der matrix berücksichtigen?
was meinst du mit Matrix aufstellen? Ich kann deinem Ansatz nicht ganz folgen, kannst du das bitte nochmal näher erläutern? Außerdem: In welchem Zusammenhang ist diese Frage aufgetaucht?
Mein Ansatz wäre einfach, wie beim Vorgehen der linearen Regression, die Fehlerfunktion [mm] $s(\alpha_1, \alpha_2)$ [/mm] zu minimieren und dadurch die Parameter zu bestimmen. Letztendlich kannst du die Formeln für eine lineare Regression anwenden, wenn du deine x-Werte durch
[mm] $Y=e^{-\bruch{X}{2}}$ [/mm] transformierst und die Regressionsgerade [mm] $U=\alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] Y$ bestimmst. Oder übersehe ich da ein Problem?
Viele Grüße
Astrid
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, Hugo, ich habe den Fehler gemacht, erst eine Antwort zu schreiben und dann zu schauen, ob bei dem anderen Post schon etwas stand... Ein schönes Beispiel für: "Bitte Cross-Posts vermeiden!" 