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| Aufgabe 1 | | a) Bei einer Spannung U von [mm] $(12,0\pm0,2)V$ [/mm] werde ein Strom I von [mm] $150\mu [/mm] A$ mit einer Unsicherheit von 2% gemessen. Wie groß sind der absolute Fehler und der relative Fehler des Widerstandes [mm] $R=\frac{U}{I}$? [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Die Messung zu a) sei bei spannungsrichtiger Schaltung mit einem Voltmeter durchgeführt worden, das im verwendeten Messbereich einen als fehlerfrei angenommenen Innenwiderstand [mm] $R_{V}=240k\Omega$ [/mm] hat. Berechnen Sie unter dessen Berücksichtigung den Widerstand [mm] $R=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}$ [/mm] mit absolutem Größtfehler. |
Hallo zusammen.
Zu a) habe ich fogendes Ergebnis:
Der Fehler von $V$ ist gegeben:
[mm] \[V=(12,0\pm0,2)V\]
[/mm]
Aus der Messunsicherheit von 2% folgt der Fehler der Einzelmessung für $I$:
[mm] \[I=150\mu A\ast 0,02=3\mu A\]
[/mm]
[mm] \[ I=(150\pm 3)\mu A\]
[/mm]
Widerstand $R$:
[mm] \[R=\frac{U}{I}\]
[/mm]
[mm] \[R=\frac{12V}{150\mu A}\]
[/mm]
[mm] \[R=80k\Omega\]
[/mm]
Absoluter Fehler von $R$:
Partielle Ableitung für [mm] $R(U;I)=\frac{U}{I}$
[/mm]
[mm] \[\Delta R=\left|\frac{\delta R}{\delta U}\right|\Delta U+\left|\frac{\delta R}{\delta I}\right|\Delta I\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=\left|\frac{1}{I}\right|\Delta U+\left|\frac{U}{I^{2}}\right|\Delta I\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=\left|\frac{1}{150\mu A}\right|0,2V+\left|\frac{12V}{(150\mu A)^{2}}\right|3\mu A\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=2,93k\Omega\]
[/mm]
Relativer Fehler von $R$:
[mm] \[\Delta R_{rel}=\frac{\Delta R}{R}\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R_{rel}=\frac{2,93k\Omega}{80k\Omega}\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R_{rel}=0,0366\]
[/mm]
Zu b) habe ich dann folgendes:
Widerstand $R$:
[mm] \[R=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}\]
[/mm]
[mm] \[R=\frac{12V}{150\mu A-\frac{12V}{240k\Omega}}\]
[/mm]
[mm] \[R=186,667k\Omega\] [/mm] (Wie viele Nachkommastellen sind hier sinnvoll?)
Absoluter Größtfehler von $R$:
Partielle Ableitung von [mm] $R(U;I;R_{V})=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}$
[/mm]
[mm] \[R=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=\left|\frac{\delta R}{\delta U}\right|\Delta U+\left|\frac{\delta R}{\delta I}\right|\Delta I+\left|\frac{\delta R}{\delta R_{V}}\right|\Delta R_{V}\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=\left|\frac{I\ast R_{V}^{2}}{(U-I\ast R_{V})^{2}}\right|\Delta U+\left|\frac{U\ast R_{V}^{2}}{(I\ast R_{V}-U)^{2}}\right|\Delta I+\left|\frac{U^{2}}{(I\ast R_{V}-U)^{2}}\right|\Delta R_{V}\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=\left|\frac{150\mu A\ast (240k\Omega)^{2}}{(12V-150\mu A\ast (240k\Omega)^{2}}\right|0,2V+\left|\frac{12V\ast (240k\Omega)^{2}}{(150\mu A\ast (240k\Omega)^{2}}\right|3\mu A+\left|\frac{(12V)^{2}}{(150\mu A\ast 240k\Omega -12V)^{2}}\right|0k\Omega\]
[/mm]
[mm] \[\Delta R=6,6k\Omega\]
[/mm]
Wäre super wenn das mal jemand, der Zeit und lust hat, nachrechnen würde. Dankeschööön! Oder gehört das vielleicht in´s E-Technik Forum?
Gruß, fisch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fisch.1981,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a) Bei einer Spannung U von [mm](12,0\pm0,2)V[/mm] werde ein Strom I
> von [mm]150\mu A[/mm] mit einer Unsicherheit von 2% gemessen. Wie
> groß sind der absolute Fehler und der relative Fehler des
> Widerstandes [mm]R=\frac{U}{I}[/mm]?
> b) Die Messung zu a) sei bei spannungsrichtiger Schaltung
> mit einem Voltmeter durchgeführt worden, das im
> verwendeten Messbereich einen als fehlerfrei angenommenen
> Innenwiderstand [mm]R_{V}=240k\Omega[/mm] hat. Berechnen Sie unter
> dessen Berücksichtigung den Widerstand
> [mm]R=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}[/mm] mit absolutem Größtfehler.
> Hallo zusammen.
>
> Zu a) habe ich fogendes Ergebnis:
>
> Der Fehler von [mm]V[/mm] ist gegeben:
> [mm]\[V=(12,0\pm0,2)V\][/mm]
>
> Aus der Messunsicherheit von 2% folgt der Fehler der
> Einzelmessung für [mm]I[/mm]:
> [mm]\[I=150\mu A\ast 0,02=3\mu A\][/mm]
> [mm]\[ I=(150\pm 3)\mu A\][/mm]
>
> Widerstand [mm]R[/mm]:
>
> [mm]\[R=\frac{U}{I}\][/mm]
>
> [mm]\[R=\frac{12V}{150\mu A}\][/mm]
>
> [mm]\[R=80k\Omega\][/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Absoluter Fehler von [mm]R[/mm]:
>
> Partielle Ableitung für [mm]R(U;I)=\frac{U}{I}[/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=\left|\frac{\delta R}{\delta U}\right|\Delta U+\left|\frac{\delta R}{\delta I}\right|\Delta I\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=\left|\frac{1}{I}\right|\Delta U+\left|\frac{U}{I^{2}}\right|\Delta I\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=\left|\frac{1}{150\mu A}\right|0,2V+\left|\frac{12V}{(150\mu A)^{2}}\right|3\mu A\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=2,93k\Omega\][/mm]
>
>
> Relativer Fehler von [mm]R[/mm]:
>
> [mm]\[\Delta R_{rel}=\frac{\Delta R}{R}\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R_{rel}=\frac{2,93k\Omega}{80k\Omega}\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R_{rel}=0,0366\][/mm]
>
>
> Zu b) habe ich dann folgendes:
>
> Widerstand [mm]R[/mm]:
>
> [mm]\[R=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}\][/mm]
>
> [mm]\[R=\frac{12V}{150\mu A-\frac{12V}{240k\Omega}}\][/mm]
>
> [mm]\[R=186,667k\Omega\][/mm] (Wie viele Nachkommastellen sind hier
> sinnvoll?)
>
Da hast Du Dich verrechnet. Für R kommt 120 k[mm]\Omega[/mm] heraus.
>
> Absoluter Größtfehler von [mm]R[/mm]:
>
> Partielle Ableitung von
> [mm]R(U;I;R_{V})=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}[/mm]
>
> [mm]\[R=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=\left|\frac{\delta R}{\delta U}\right|\Delta U+\left|\frac{\delta R}{\delta I}\right|\Delta I+\left|\frac{\delta R}{\delta R_{V}}\right|\Delta R_{V}\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=\left|\frac{I\ast R_{V}^{2}}{(U-I\ast R_{V})^{2}}\right|\Delta U+\left|\frac{U\ast R_{V}^{2}}{(I\ast R_{V}-U)^{2}}\right|\Delta I+\left|\frac{U^{2}}{(I\ast R_{V}-U)^{2}}\right|\Delta R_{V}\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=\left|\frac{150\mu A\ast (240k\Omega)^{2}}{(12V-150\mu A\ast (240k\Omega)^{2}}\right|0,2V+\left|\frac{12V\ast (240k\Omega)^{2}}{(150\mu A\ast (240k\Omega)^{2}}\right|3\mu A+\left|\frac{(12V)^{2}}{(150\mu A\ast 240k\Omega -12V)^{2}}\right|0k\Omega\][/mm]
>
> [mm]\[\Delta R=6,6k\Omega\][/mm]
>
> Wäre super wenn das mal jemand, der Zeit und lust hat,
> nachrechnen würde. Dankeschööön! Oder gehört das
> vielleicht in´s E-Technik Forum?
>
Das ist hier schon richtig.
> Gruß, fisch
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower.
Vielen Dank für die Arbeit. Was den Widerstand bei b) angeht da hast Du natürlich recht.
Eine weitere Frage die sich mir aufdrängt ist: Wo ist der Unterschied zwischen dem absoluten Fehler von a) und dem absolutem Größtfehler von b)?
Ein weiteres Problem mit den Begrifflichkeiten ist folgendes: Im Papula Bd. 3 steht: "In der Fehlerrechnung wird noch zwischen absoluten, relativen und prozentualen Fehlern (Messabweichungen, Messunsicherheiten) unterschieden [...]" Das bedeutet doch das "Fehler" und "Messunsicherheit" das selbe sind?! Wir haben aber eine Messunsicherheit von I=2% also [mm] $\Delta [/mm] I=3$.
Gruß, fisch
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Hallo fisch.1981,
> Hallo MathePower.
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> Vielen Dank für die Arbeit. Was den Widerstand bei b)
> angeht da hast Du natürlich recht.
>
> Eine weitere Frage die sich mir aufdrängt ist: Wo ist der
> Unterschied zwischen dem absoluten Fehler von a) und dem
> absolutem Größtfehler von b)?
>
Den Widerstand ohne Messfehler hast Du ja schon ausgerechnet.
Dann rechnest Du den Widerstand mit Messfehlern
anhand der gegebenen Formel aus.
Es gibt dann einen maximalen und einen minimalen Widerstand.
Die größtmögliche Differenz zu diesen Werten vom
Widerstand ohne Messfehler ist dann der absolute Größtfehler.
> Ein weiteres Problem mit den Begrifflichkeiten ist
> folgendes: Im Papula Bd. 3 steht: "In der Fehlerrechnung
> wird noch zwischen absoluten, relativen und prozentualen
> Fehlern (Messabweichungen, Messunsicherheiten)
> unterschieden [...]" Das bedeutet doch das "Fehler" und
> "Messunsicherheit" das selbe sind?! Wir haben aber eine
> Messunsicherheit von I=2% also [mm]\Delta I=3[/mm].
>
Der relative bzw. prozentuale Fehler von I beträgt 2 %.
Dagegen beträgt der absolute Fehler von I [mm]3\mu A[/mm]
> Gruß, fisch
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 23.06.2013 | | Autor: | fisch.1981 |
Hallo MathePower.
Danke für die Hilfe. Jetzt klappt´s.
Gruß, fisch
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