Fehlerabschätzung von Taylorp. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 07.06.2015 | | Autor: | Jonas123 |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f:(0,\infty )^2\rightarrow [/mm] R$ mit [mm] $f(x,y)=x^y$.
[/mm]
a) Bestimme alle partiellen Ableitungen von f bis zur Ordnung 3 (einschließlich).
b) Verwende den Satz von Taylor mit Entwicklungspunkt (1,1) um eine Nährung für [mm] $1,05^{1,02}$ [/mm] zu berechnen. Verwende hierbei die Ableitungen bis zur zweiten Ordnung.
Schätze anschließend unter Verwendung der Ableitungen dritter Ordnung den Fehler ab und zeige, dass er kleiner als [mm] $10^{-4}$ [/mm] ist. |
Hallo zusammen,
habe bei dieser Aufgabe wohl eher ein kleines Problem.
Die partiellen Ableitungen zu bestimmen ist ja kein Problem und geht auch relativ schnell dank dem Satz von Schwarz.
Das Taylorpolynom kann ich auch noch gut bestimmen und ergibt ${ T [mm] }_{ 2 }(f,(x,y),(1,1))=1-y+xy$
[/mm]
Als Näherung für [mm] $1,05^{1,02}$ [/mm] erhalte ich ${ T [mm] }_{ 2 }(f,(1,05,1,02),(1,1))=1,051$ [/mm] (einfach nur eingesetzt)
(Ihr brauchst das nicht kontrollieren, das haben schon andere gemacht: https://matheraum.de/read?t=49028&v=t )
Mein eigentliches Problem bei dieser Aufgabe ist die Fehlerabschätzung mit der dritten Ableitung.
Ich kann schon einen Fehler angeben: ${ 1,05 [mm] }^{ 1,02 }-1,051=2,509\cdot [/mm] { 10 [mm] }^{ -5 }$ [/mm] und dieser ist auch kleiner als gefordert, jedoch habe ich keine Idee wie ich das mit der dritten Ableitung berechnen soll.
In unserem Skript zur Vorlesung haben wir nur die allgemeine Formel für das Taylorpolynom gegeben, jedoch keine Formel für den Fehler.
Wäre nett wenn mir das jemand kurz und präzise erklären könnte wie ich da vorgehen muss. Ich denke mal da wird es auch eine Formel geben.
Vielen Dank schon mal an alle, die sich die Zeit nehmen.
Jonas
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Hallo Jonas123,
> Es sei [mm]f:(0,\infty )^2\rightarrow R[/mm] mit [mm]f(x,y)=x^y[/mm].
> a) Bestimme alle partiellen Ableitungen von f bis zur
> Ordnung 3 (einschließlich).
> b) Verwende den Satz von Taylor mit Entwicklungspunkt
> (1,1) um eine Nährung für [mm]1,05^{1,02}[/mm] zu berechnen.
> Verwende hierbei die Ableitungen bis zur zweiten Ordnung.
> Schätze anschließend unter Verwendung der Ableitungen
> dritter Ordnung den Fehler ab und zeige, dass er kleiner
> als [mm]10^{-4}[/mm] ist.
> Hallo zusammen,
>
> habe bei dieser Aufgabe wohl eher ein kleines Problem.
>
> Die partiellen Ableitungen zu bestimmen ist ja kein Problem
> und geht auch relativ schnell dank dem Satz von Schwarz.
> Das Taylorpolynom kann ich auch noch gut bestimmen und
> ergibt [mm]{ T }_{ 2 }(f,(x,y),(1,1))=1-y+xy[/mm]
> Als Näherung
> für [mm]1,05^{1,02}[/mm] erhalte ich [mm]{ T }_{ 2 }(f,(1,05,1,02),(1,1))=1,051[/mm]
> (einfach nur eingesetzt)
> (Ihr brauchst das nicht kontrollieren, das haben schon
> andere gemacht: https://matheraum.de/read?t=49028&v=t
> )
>
> Mein eigentliches Problem bei dieser Aufgabe ist die
> Fehlerabschätzung mit der dritten Ableitung.
> Ich kann schon einen Fehler angeben: [mm]{ 1,05 }^{ 1,02 }-1,051=2,509\cdot { 10 }^{ -5 }[/mm]
> und dieser ist auch kleiner als gefordert, jedoch habe ich
> keine Idee wie ich das mit der dritten Ableitung berechnen
> soll.
>
> In unserem Skript zur Vorlesung haben wir nur die
> allgemeine Formel für das Taylorpolynom gegeben, jedoch
> keine Formel für den Fehler.
>
> Wäre nett wenn mir das jemand kurz und präzise erklären
> könnte wie ich da vorgehen muss. Ich denke mal da wird es
> auch eine Formel geben.
>
Siehe z.B ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Formel - Mehrdimensionale Restgliedformeln
> Vielen Dank schon mal an alle, die sich die Zeit nehmen.
>
> Jonas
Gruss
MathePower
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