Fehlerabschätz. Polynominter. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 12.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Auf Wikipedia gibts unter ![[]](/images/popup.gif) Polynominterpolation unter dem Titel Fehlerabschätzung folgende angabe, für f(x) die Funktion und P(x) die Interpolationsfunktion:
"Gegeben sei eine Funktion f von der n+1 Funktionswerte an der Stelle [mm] x_{i} [/mm] durch P(x) gehen. I ist das kleineste Intervall, dass die Stützstellen [mm] x_{i} [/mm] und eine Stelle x enthält. Ausserdem ist f (n+1) mal stetig differenzierbar in I. Dann gibt es ein [mm] \epsilon \in [/mm] I sodass
f(x) - P(x) = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(\epsilon)}{(n+1)!}*\produkt_{i=0}^{n}(x-x_{i})
[/mm]
..."
...also kann man trivialerweise wie folgt abschätzen, dass
f(x) - P(x) [mm] \le \bruch{||f^{(n+1)||_{\infty}}}{(n+1)!}*\produkt_{i=0}^{n}(x-x_{i})
[/mm]
Frage: Wie wird das hergeleitet, dass f(x) - P(x) = ... ???
Okay, wenn ich die Gleichung n mal Ableite, so verschwindet P(x) ja und f(x) wird zu [mm] f^{(n)}(x). [/mm] Auf der rechten seite verschwinden alle Terme wo x kleinere Potenzen als n hatte. Aber was das genau mit dem Fehler zu tun hat seh ich doch nicht? (Vielleicht hat das ja auch gar keinen Zusammenhang).
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Do 12.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Leute,
Habe einen Beweis gefunden, gebe ihn hier noch an:
Für x = [mm] x_{i}, [/mm] es ist trivial zu sehen, dass die Gleichung stimmt. Es sind also noch die Bereiche zwischen den [mm] x_{i} [/mm] zu betrachten.
Sei M = [mm] \produkt_{i=0}^{n}(x-x_{i}). [/mm] Wir halten x fixiert und betrachten g:[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] mit
g(z) = f(z) - P(z) - [mm] M(z)*\bruch{f(x) - P(x)}{M(x)} [/mm] mit z [mm] \in [/mm] [a,b]. g ist (n+1) mal stetig differenzierbar und hat (n+2) Nullstellen. Die Ableitung muss also mindestens (n+1) Nullstellen haben. Die (n+1)-te Ableitung muss also mindestens eine Nullstelle auf [a,b] haben, welche wir [mm] \epsilon [/mm] nennen. Für dieses gilt
0 = [mm] f^{(n+1)}(\epsilon) [/mm] - [mm] (n+1)!*\bruch{f(x) - P(x)}{M}
[/mm]
Grüsse
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