Fehler einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Ich hoffe, jemand kann mir hier schnell eine kleine Hilfestellung geben!
wie bestimme ich den Fehler, wenn ich die Potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(0,8)^n
[/mm]
ab einer gewissen Stelle abbreche?
natürlich kann ich den Fehler händisch ausrechnen und angeben, aber das geht doch sicher auch eleganter?
herzliche Grüße
Chris
|
|
| |
|
> Ich hoffe, jemand kann mir hier schnell eine kleine
> Hilfestellung geben!
>
>
> wie bestimme ich den Fehler, wenn ich die Potenzreihe
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(0,8)^n[/mm]
>
> ab einer gewissen Stelle abbreche?
>
> natürlich kann ich den Fehler händisch ausrechnen und
> angeben, aber das geht doch sicher auch eleganter?
Na, was meinst Du denn mit "händisch ausrechnen"? Im allgemeinen Falle, insbesondere in dem Falle, dass Du weder eine geschlossene Formel für die Partialsummen noch eine exakte Kenntnis des Grenzwertes der Partialsummen hast, ist kaum eine "elegante" Lösung möglich.
Bei Deinem Beispiel haben wir aber eine Formel für die Partialsummen, denn es ist
[mm]\sum_{n=1}^N q^n=q\cdot \frac{1-q^N}{1-q}[/mm]
Für $|q|<1$ konvergieren diese Partialsummen somit gegen [mm] $q\frac{1}{1-q}$, [/mm] weshalb der absolute Fehler bei Abbrechen nach der $N$-ten Stelle gleich
[mm]\epsilon = \left|q\frac{1}{1-q}-q\frac{1-q^N}{1-q}\right|=\left|\frac{q^{N+1}}{1-q}\right|[/mm]
ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Danke! Das hat meine Frage genau getroffen!
lg
Chris
|
|
|
|
