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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:09 Do 24.01.2008 | | Autor: | jane882 |
g1: x= ( 0 0 3) + Lamnda (1 0 1)
g2:h= ( 2 2 0) + Mü (u)
Also ich soll jetzt u so bestimmen, dass g und h windschief zueinander sind
Und danach u bestimmen, sodass sich die Geraden orthogonal schneiden
Normal (also nicht orthogonal) schneiden sie sich im Punkt S(-4/0/-1)
Wie gehe ich jetzt bei diesen beiden Aufgaben vor? Hab voll das Blackout :(
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> g1: x= ( 0 0 3) + Lamnda (1 0 1)
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> g2:h= ( 2 2 0) + Mü (u)
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> Also ich soll jetzt u so bestimmen, dass g und h windschief
> zueinander sind
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> Und danach u bestimmen, sodass sich die Geraden orthogonal
> schneiden
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> Normal (also nicht orthogonal) schneiden sie sich im Punkt
> S(-4/0/-1)
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> Wie gehe ich jetzt bei diesen beiden Aufgaben vor? Hab
> voll das Blackout :(
Hier ein Vorschlag für den Fall des orthogonalen Schneidens der beiden Geraden: Schneide die Ebene [mm] $N_2$, [/mm] die senkrecht zu [mm] $g_1$ [/mm] steht und den Stützpunkt von [mm] $g_2$ [/mm] enthält, mit [mm] $g_1$: [/mm] denn in dieser Ebene muss die gewünschte Gerade [mm] $g_2$ [/mm] liegen, weil sie durch den vorgegebenen Stützpunkt für [mm] $g_2$ [/mm] geht und senkrecht zu [mm] $g_1$ [/mm] sein soll.
Der Vektor, der vom Stützpunkt von [mm] $g_2$ [/mm] zum Punkt $S := [mm] N_2\cap g_1$ [/mm] geht, ist ein Richtungsvektor für [mm] $g_2$ [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft, dass [mm] $g_1\perp g_2$ [/mm] und [mm] $g_1\cap g_2\neq \{\}$ [/mm] ist.
Berechnung: Weil der Richtungsvektor von [mm] $g_1$ [/mm] senkrecht zu [mm] $N_2$ [/mm] steht, erhalten wir als Ebenengleichung (in Koordinatenform): [mm] $N_2: x_1+x_3=d$. [/mm] Wobei daraus, dass der Stützpunkt $(2|2|0)$ in [mm] $N_2$ [/mm] liegt, folgt, dass $2+0=d$, d.h. $d=2$ sein muss.
Um den Parameterwert [mm] $\lambda$ [/mm] in der Gleichung für [mm] $g_1$ [/mm] zu bestimmen, setzen wir einfach die Koordinaten [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] gemäss Gleichung von [mm] $g_1$ [/mm] in die Ebenengleichung für [mm] $N_2$ [/mm] ein und erhalten: [mm] $\lambda+(3+\lambda)=2$, [/mm] also [mm] $\lambda [/mm] = -1/2$.
Einsetzen dieses Wertes von [mm] $\lambda$ [/mm] in die Geradengleichung von [mm] $g_1$ [/mm] ergibt die Koordinaten des Schnittpunktes $S:= [mm] g_1\cap N_2$, [/mm] d.h. $S=(-1/2|0|5/2)$. Ein geeigneter Vektor [mm] $\vec{u}$, [/mm] um die Bedingung [mm] $g_1\perp g_2$ [/mm] zu erfüllen, müsste also
[mm]\pmat{-1/2\\0\\5/2}-\pmat{2\\2\\0}=\pmat{-5/2\\-2\\5/2}=\frac{1}{2}\pmat{-5\\-4\\5}[/mm]
sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 24.01.2008 | | Autor: | jane882 |
danke:)
wies bist du denn auf N1: x1+x3= d gekommen?
wie gehe ich denn bei den windschiefen geraden vor?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> danke:)
> wies bist du denn auf N1: x1+x3= d gekommen?
Die Koeffizienten $a,b,c$ in einer Ebenengleichung der Form $ax_1+bx_2+cx_3=d$ sind die Koordinaten eines zu dieser Ebene senkrecht stehenden Vektors. Und auch umgekehrt: kennst Du die Koordinaten eines zur gesuchten Ebene senkrechten Vektors, so kannst Du aus dessen Koordinaten gerade die Koeffizienten $a,b,c$ der Koordinatengleichung der gesuchten Ebene ablesen.
In diesem Fall suchten wir eine Koordinatengleichung der zu $g_1$ senkrecht stehenden Ebene $N_2$. Deshalb ist der Richtungsvektor von $g_1$ ein zu $N_2$ senkrecht stehender Vektor, seine Koordinaten 1,0 und 1 habe ich entsprechend als Koeffizienten der Koordinatengleichung von $N_2$ verwendet. Ergibt: $1x_1+0x_2+1x_3=d$, nach weglassen des Summanden $0x_2$ also $x_1+x_3=d$.
> wie gehe ich denn bei den windschiefen geraden vor?
Sind $G_1(0|0|3)$ Stützpunkt und $\vec{u}_1$ Richtungsvektor von $g_1$, $G_2(2|2|0)$ Stützpunkt und $\vec{u}_2$ (der gesuchte) Richtungsvektor von $g_2$. So genügt es $\vec{u}_2$ so zu wählen, dass er nicht parallel zu der von $\vec{u}_1$ und $\vec{G_1G}_2$ aufgespannten Ebene durch $G_1$ ist. Falls Du z.B. das Vektorprodukt kennst, könntest Du kurzerhand $\vec{n}_2:= \vec{u}_1\times \vec{G_1G}_2}$ wählen.
Diese Wahl von $\vec{u}_2$ macht $g_1$ und $g_2$ allerdings nur unter der Voraussetzung zueinander windschief, dass $G_2\notin g_1$ ist. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so kann keine Wahl von $\vec{u}_2$ die beiden Geraden zueinander windschief machen: sie schneiden sich dann immer im Punkt $G_2$.
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