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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:53 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Bei einem Federpendel wird zum Zeitpunkt T=0s eine Auslenkung von 2,5cm, eine Geschwindigkeit von 2m/s und eine Schwingungsfrequenz von w=16Hz gemessen. Bestimmen sie Amplitude und Phase dieser Schwigung durch einen Lösungsansatz mit:
a) trigonometrischer Funktionen
b) komplexen Funktionen |
Diese Aufgabe bereitet mir große Schwierigkeiten. Ich zeige mal meinen Ansatz:
v(t)= [mm] s_{max} [/mm] * [mm] \omega [/mm] * [mm] cos(\omega [/mm] * t)
=> 2m/s = [mm] s_{max} [/mm] * 2 * [mm] \pi [/mm] * 16Hz * cos(2 * [mm] \pi [/mm] * 16Hz * 0s)
<=> 2m/s = [mm] s_{max} [/mm] * 2 * [mm] \pi [/mm] * 16Hz <=> [mm] s_{max} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16\pi}
[/mm]
Das ist die maximale Auslenkung der Schwingung. Meine Frage ist nun: Was genau versteht man unter der Phase einer Schwingung und wie kann ich die Gleichungen in die komplexen Zahlen transformieren (und vor allem wozu macht man das)??
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Hallo!
Du gehst davon aus, daß
[mm] s(t)=s_{max}*\sin(\omega*t)
[/mm]
gilt. Das ist eine sehr häufige Vereinfachung, allerdings hat sie einen Haken, über den du hier gestolpert bist:
Es wird davon ausgegangen, daß zum Zeitpunkt t=0 das Pendel oder was auch immer seine Ruhelage durchläuft, und zwar von "negativer" Seite zu "positiver" Seite.
Genau das ist hier nicht der Fall, zu dem Zeitpunkt hast du eine bestimmte Auslenkung und eine bestimmte Geschwindigkeit, beide sind nicht die Maximalwerte! Hier kommt die Phase [mm] \phi [/mm] ins Spiel:
[mm] s(t)=s_{max}*\sin(\omega*t+\phi)
[/mm]
[mm] v(t)=\omega*s_{max}*\cos(\omega*t+\phi)
[/mm]
Versuche, die Aufgabe damit mal zu rechnen.
Der komplexe Ansatz geht über
[mm] s(t)=s_{max}*e^{i(\omega*t+\phi)}
[/mm]
wobei die wahre Auslenkung dann der Realteil davon ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Physy |
Also versteht man unter der Phase einer Schwingung den Winkel mit der die Sinusschwingung beginnt?
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Hallo!
Ich denke, das kannst du so auffassen. Es ist etwas schwammig formuliert, aber ok.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Physy |
Tut mir leid, dass ich nochmal nachhake aber wie genau wandle ich jetzt eine trigonometrische Schwingungsgleichung und eine komplexe um?
nehmen wir an ich hätte:
[mm] s(t)=6*sin(3Hz*t+\bruch{\pi}{3})
[/mm]
Dann wäre die komplexe Funktion:
[mm] s(t)=6*e^{i*(3Hz*t+\bruch{\pi}{3})}
[/mm]
Wie entnehme ich hier den Real und Imaginärteil und was hat es mit diesen auf sich? Ich hatte noch keine komplexen Zahlen in einem solchen ausmaß... nur die Grundlagen.
Du sagtest, dass der Realteil der derzeitigen Auslenkung entspricht. Aber wo ist das ein Realteil? Ich meine e ist doch komplex :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)
[/mm]
ob du bei der komplexen Darstellung den Realteil oder den Imaginärteil als das messbare nimmst ist egal. du musst dich nur auf eines festlegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:09 Di 07.12.2010 | | Autor: | Physy |
Angenommen es gelte zum Zeitpunkt t=0 folgendes: v(0)=2m/s, s(0)=0,025m, [mm] \omega [/mm] = 16Hz und ich will die Phase berechnen. (mit komplexen Funktionen!)
Dann:
[mm] s(t)=s_{max}\cdot{}e^{(i(\omega\cdot{}t+\phi)}
[/mm]
[mm] v(t)=s_{max}*\omega\cdot{}e^{(i(\omega\cdot{}t+\phi)}
[/mm]
Einsetzen:
0,025 = [mm] s_{max}*e^{i*\phi)}
[/mm]
2 = [mm] s_{max}*e^{i*\phi)}
[/mm]
=> [mm] \bruch{0,025}{e^{(i*\phi)}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2*16*\pi*e^{(i*\phi)}}
[/mm]
<=> [mm] 0,4*e^{(i*\phi)} [/mm] = [mm] e^{(i*\phi)}
[/mm]
Wenn ich jetzt den ln nehme, komme ich auf keine Lösung :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Halloo
> Angenommen es gelte zum Zeitpunkt t=0 folgendes: v(0)=2m/s,
> s(0)=0,025m, [mm]\omega[/mm] = 16Hz und ich will die Phase
> berechnen. (mit komplexen Funktionen!)
>
> Dann:
> [mm]s(t)=s_{max}\cdot{}e^{(i(\omega\cdot{}t+\phi)}[/mm]
> [mm]v(t)=s_{max}*\omega\cdot{}e^{(i(\omega\cdot{}t+\phi)}[/mm]
richtig wäre [mm] $v(t)=s_{max}*i\omega\cdot{}e^{(i(\omega\cdot{}t+\phi)}=v(t)=s_{max}*e^{i\pi/2}\omega\cdot{}e^{(i(\omega\cdot{}t+\phi)}$
[/mm]
und jetzzt musst du dich für Re oder Im entscheiden.
Gruss leduart
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