Fast sichere Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mo 28.09.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | Ich habe so meine Probleme mit folgenden Beweis:
Es soll gelten "fast sichere Konvergenz"$ [mm] \Rightarrow$ [/mm] "Konvergenz ins Wahrscheinlichkeiten"
Erst einmal zur Definition:
Seien [mm] $Y_1, Y_2, [/mm] ..., [mm] Y_n$ [/mm] reele Zufallsvariablen [mm] $(\Omega, [/mm] F, P)$. Man sagt [mm] $Y_n$ [/mm] konvergieren gegen $Y$ P-fast sicher, wenn:
[mm] $P(\omega\in \Omega: Y_n(\omega) \to Y(\omega)) [/mm] = 1$
Nun zum Beweis:
Für [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt:
[mm] $P(|Y_n [/mm] - Y| [mm] \geq \varepsilon) \leq P\left(\sup_{k\geq n}|Y_{k}-Y|\geq\varepsilon\right) \overset{n\to\infty}{\longrightarrow}P\left(\underset{k\to\infty}{\lim\sup}|Y_{k}-Y|\geq\varepsilon\right)\leq P\left(Y_{n}\not\rightarrow Y\right)$ [/mm] |
Erstmal soweit ich es verstehe:
[mm] P(|Y_n [/mm] - Y| [mm] \geq \varepsilon) \leq P\left(\sup_{k\geq n}|Y_{k}-Y|\geq\varepsilon\right) [/mm] gilt, da:
[mm] $\{|Y_n - Y|\geq \varepsilon \} \subseteq \{\sup_{k\geq n}|Y_{k}-Y|\geq\varepsilon\}$
[/mm]
Die Ungleichung folgt dann einfach aus er Monotonie des Wkt-maßes.
Nun schickt man n gegen unendlich, dann läuft auch k gegen unendlich.
Damit erhält man also:
[mm] P\left(\underset{k\to\infty}{\lim\sup}|Y_{k}-Y|\geq\varepsilon\right).
[/mm]
Woher stammt aber die Ungleichung:
[mm] P\left(\underset{k\to\infty}{\lim\sup}|Y_{k}-Y|\geq\varepsilon\right)\leq P\left(Y_{n}\not\rightarrow Y\right) [/mm] ?
Irgendwie kann ich mir die nicht erklären :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mo 28.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen (mit [mm] $\varepsilon [/mm] >0$):
[mm] $A:=\{w \in \Omega: \lim\sup|Y_{k}(w)-Y(w)|\geq\varepsilon\}$,
[/mm]
und
[mm] $B=\{w \in \Omega: Y_n(w) \not\rightarrow Y(w) \quad (n \to \infty)\}$.
[/mm]
Dann ist
$A [mm] \subseteq [/mm] B$
und somit
$P(A) [mm] \le [/mm] P(B)$.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 28.09.2015 | | Autor: | Audin |
> Wir setzen (mit [mm]\varepsilon >0[/mm]):
>
> [mm]A:=\{w \in \Omega: \lim\sup|Y_{k}(w)-Y(w)|\geq\varepsilon\}[/mm],
>
> und
>
> [mm]B=\{w \in \Omega: Y_n(w) \not\rightarrow Y(w) \quad (n \to \infty)\}[/mm].
>
> Dann ist
>
> [mm]A \subseteq B[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]P(A) \le P(B)[/mm].
>
> FRED
Ah okay stimmt, denn in der Menge A habe ich ja immer nur die Omega, für die der Abstand größtmöglich wird, während ich in der Menge B eben alle möglichen Omega die größer als Epsilon sind, oder?
Irgendwie hatte mich verwirrt, dass die Folge ja monoton Fallend ist was aber im Grunde total egal ist.
Dann gilt für P(B)=0, weswegen letztlich auch [mm] P(|Y_n -Y|\geq \varepsilon) [/mm] =0 ist, nach einschließungssatz.
Damit hat man den Beweis dann bereits vollendet.
Danke Fred.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 28.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Wir setzen (mit [mm]\varepsilon >0[/mm]):
> >
> > [mm]A:=\{w \in \Omega: \lim\sup|Y_{k}(w)-Y(w)|\geq\varepsilon\}[/mm],
>
> >
> > und
> >
> > [mm]B=\{w \in \Omega: Y_n(w) \not\rightarrow Y(w) \quad (n \to \infty)\}[/mm].
>
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]A \subseteq B[/mm]
> >
> > und somit
> >
> > [mm]P(A) \le P(B)[/mm].
> >
> > FRED
>
> Ah okay stimmt, denn in der Menge A habe ich ja immer nur
> die Omega, für die der Abstand größtmöglich wird,
> während ich in der Menge B eben alle möglichen Omega die
> größer als Epsilon sind, oder?
Mit Verlaub, das ist doch nur Geschwafel und hat mit Mathematik nix zu tun !
Ist $w [mm] \in [/mm] A$, so ist $ [mm] \lim \sup |Y_n(w)-Y(w)| \ge \varepsilon [/mm] >0$
Wäre $w [mm] \notin [/mm] B$, so würde die Folge [mm] (Y_n(w)) [/mm] gegen $Y(w)$ konvergieren und wir hätten
$ [mm] \lim \sup |Y_n(w)-Y(w)|= \lim |Y_n(w)-Y(w)|=0<\varepsilon$.
[/mm]
Widerspruch !
FRED
> Irgendwie hatte mich verwirrt, dass die Folge ja monoton
> Fallend ist was aber im Grunde total egal ist.
> Dann gilt für P(B)=0, weswegen letztlich auch [mm]P(|Y_n -Y|\geq \varepsilon)[/mm]
> =0 ist, nach einschließungssatz.
>
> Damit hat man den Beweis dann bereits vollendet.
>
> Danke Fred.
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