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Abend zusammen,
ich arbeite grad von Anfang an die Übungsaufgaben aus "dem Heuser" durch. Da wird bei der Mengenlehre im ersten Kapitel nach dem Beweis für M [mm] \cup [/mm] M = M gefragt, aber das ist doch so definiert, dass gleiche Mengen vereint gleich der Ausgangsmenge sind. Ich versteh nicht was man da noch beweisen kann ;)
Ist das bloß eine Fangfrage?
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Hallo Nelly,
zwei Mengen $\ A, B $ sind gleich, wenn
$\ A [mm] \subseteq [/mm] B $ und $\ B [mm] \subseteq [/mm] A $
Zeige also
"$\ [mm] \Rightarrow$": [/mm] $\ ( M [mm] \cup [/mm] M ) [mm] \subseteq [/mm] M $
"$\ [mm] \Leftarrow$": [/mm] $\ M [mm] \subseteq [/mm] ( M [mm] \cup [/mm] M ) $
Hilft dir das?
Viele Grüße
ChopSuey
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Ich muss bei Beweisen in der Mengenlehre immer sofort an Wahrheitstabellen denken, weil die z.b. bei dem Distributivgesetzt absolut das Einfachste sind. Wie ich nun aber die Gleichheit zweier Mengen die ja sowieso schon als gleich definiert sind beweisen soll ist mir auch mit deinem Tipp absolut schleierhaft. Gibt es da keine generelle Art und Weise wie man an sowas rangehen kann, die mir bis jetzt verborgen geblieben ist?
Gruß
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Hallo Nelly,
klar, die gibt es 
Du wählst ein bel. Element $\ x $ aus der linken Menge und zeigst durch logische Implikationen, dass sie zwangsläufig auch in der rechten Menge zu liegen hat.
Das, und nichts anderes, sagt doch auch gerade die Definition der Teilmenge!
Also:
"$ \ [mm] \Rightarrow [/mm] $": $ \ ( M [mm] \cup [/mm] M ) [mm] \subseteq [/mm] M $
$\ x [mm] \in [/mm] ( M [mm] \cup [/mm] M ) [mm] \Rightarrow [/mm] ( x [mm] \in [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] M ) [mm] \Rightarrow [/mm] ( x [mm] \in [/mm] M ) $
Nun zeige die Implikation von der anderen Richtung.
Viele Grüße
ChopSuey
P.S: Siehe H. Heuser S. 19 oben.
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> dem Beweis für M [mm]\cup[/mm] M = M gefragt, aber das
> ist doch so definiert, dass gleiche Mengen vereint gleich
> der Ausgangsmenge sind.
Hallo,
es sind die Menge [mm] M\cup [/mm] M und M nicht "als gleich definiert",
sondern ihre Gleichheit ergibt sich aus der Definition der Vereinigung zweier Mengen.
Wenn man weiß, was Vereinigung bedeutet, kann man die Gleichheit zeigen - und wie das geht, hat Dir Cho Suey ja vorgemacht.
Du mußt Dich daran gewöhnen, am Studienbeginn Dir völlig selbstverständliche Dinge zu beweisen - lediglich unter Zuhilfenahme gelernter Definitionen und Sätze.
Warum ist das so? Weil Du erst an einfachen Dingen das Beweisen üben und dabei lernen sollst, zwischen logischem Schließen und dem Tun aus Gewohnheit oder Gefühl heraus zu unterscheiden.
Daher mußt Du auch jeden Schritt, den Du gehst in Beweisen begründen, z.B. mit der Nummer des entsprechenden Satzes.
Gruß v. Angela
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