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Hallo,
ich bereite mich gerade für eine Klausur vor und bin an folgenden zwei Aufgaben hängen geblieben:
1. X,Y sind unabhängig und je gleichverteilt auf ]0,1[. Welche W-Dichte hat die Zufallsvariable max(X,Y)?
Ich bin zu dem Ergebnis gekommen [mm]x*1_{]0,1[}[/mm]
Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob das auch so stimmt.
2. X,Y sind unabhängig und rellwertige Zufallsvariblen mit den W-dichten [mm]f_{X}[/mm] und [mm]f_{Y}[/mm]. Welche Dichte hat die Differenz X-Y?
Ich weiß, dass die Summe X+Y folgendermaßen aussieht:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{ \IR} {f_{X}(z-y)f_{Y}(y) dy}[/mm] und man die Differenz durch X+(-Y) herleiten kann. Mit dieser Erkenntnis bin ich nun zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] f_{X+Y}(z)=\integral_{ \IR} {f_{X}(z-y)f_{Y}(-y) dy}[/mm]
Aber auch hier bin ich recht unsicher mit der Richtigkeit des Ergebnisses.
Vielleicht kann mir ja jemand dabei helfen. Ich würde mich über jede Antwort freuen.
Gruß
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Hallo!
> 1. X,Y sind unabhängig und je gleichverteilt auf ]0,1[.
> Welche W-Dichte hat die Zufallsvariable max(X,Y)?
>
> Ich bin zu dem Ergebnis gekommen [mm]x*1_{]0,1[}[/mm]
> Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob das auch so
> stimmt.
Magst Du vielleicht auch noch mitteilen, wie Du darauf kommst? Dass die Verteilungsfunktion für Werte größer als 1 wieder auf 0 sinkt, ist nicht sinnvoll, da jede Verteilungsfunktion für [mm] $x\to\infty$ [/mm] den Wert 1 annehmen sollte. Aber auch das x stimmt nicht in Deiner Lösung. Hast Du beachtet, dass
[mm]F_{max(X,Y)}(x)=P(max(X,Y)\le x)=P(X\le x,Y\le x)[/mm]
gilt? Nun solltest Du die Unabhängigkeit ausnutzen und die Verteilungsfunktion von X bzw. die von Y einsetzen.
> 2. X,Y sind unabhängig und rellwertige Zufallsvariblen mit
> den W-dichten [mm]f_{X}[/mm] und [mm]f_{Y}[/mm]. Welche Dichte hat die
> Differenz X-Y?
>
> Ich weiß, dass die Summe X+Y folgendermaßen aussieht:
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{ \IR} {f_{X}(z-y)f_{Y}(y) dy}[/mm] und
> man die Differenz durch X+(-Y) herleiten kann. Mit dieser
> Erkenntnis bin ich nun zu folgendem Ergebnis gekommen:
> [mm]f_{X+Y}(z)=\integral_{ \IR} {f_{X}(z-y)f_{Y}(-y) dy}[/mm]
Nur weil Du vorne die Zufallsvariable Y durch -Y ersetzt, heißt das nicht, dass Du die Variable y auch durch -y ersetzt. Vielleicht gehst Du noch mal den Beweis durch, wie man auf die erste Formel kommt und probierst das dann analog für X-Y.
Viele Grüße
Brigitte
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