Faltung injektiv < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Do 04.02.2021 | | Autor: | Noya |
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Hiho,
> injektiv bedeutet ja [mm]u_1[/mm] = [mm]u_2 \Rightarrow A(u_1)= A(u_2).[/mm]
Nein, das ist trivial für jeden Operator $A$.
Andererseits wäre A ja nicht mal wohldefiniert.
Inektiv bedeutet:
[mm] $A(u_1) [/mm] = [mm] A(u_2) \Rightarrow u_1 [/mm] = [mm] u_2$
[/mm]
> Die Faltung ist definiert als:
>
> Au = k [mm]\*[/mm] u = [mm]\int_{\omega}[/mm] k(x) [mm]\cdot[/mm] u(x-y) dy
1.) Unters Integral gehört ein großes [mm] $\omega$, [/mm] also [mm] \Omega
[/mm]
2.) Im Integral muss k(y) stehen, nicht k(x)
3.) Und sauber aufgeschrieben hast du das auch nicht, denn: Die linke Seite hängt ja offensichtlich nicht von x ab, die rechte aber schon.
Notiere das sauber!
> Wähle ich nun k(x)=1:
>
> Au = 1 [mm]\*[/mm] u = [mm]\int_{\omega}[/mm] 1 [mm]\cdot[/mm] u(x-y) dy =
> [mm]\int_{\omega}[/mm] u(x-y) dy
Bis aufs [mm] \Omega [/mm] ok.
> Dies gilt für alle u [mm]\in L^1(\Omega).[/mm] Also wenn [mm]u_1[/mm] = [mm]u_2[/mm] so ist auch [mm]Au_1[/mm] = [mm]Au_2[/mm]
Das ist trivial.
> und somit injektiv, oder?.
Und das ist jetzt wegen dem Beginn halt falsch.
Du beginnst also mit: [mm] $A(u_1) [/mm] = [mm] A(u_2)$ [/mm] und sollst nun zeigen: [mm] $u_1 [/mm] = [mm] u_2$
[/mm]
Und hier wird jetzt die saubere Notation relevant! Warum?
edit: Nochmal zur Notation. Bitte gebe die Aufgabe mal genau wieder, denn folgendes Problem.
Du schreibst:
> Der lineare und stetige Operator $A: [mm] L^1(\Omega) \to L^1(\Omega') [/mm] $
Welche Funktionen in [mm] L^1 [/mm] liegen, hängt nun stark vom gewählten Maß ab.
Du schreibst:
> Die Faltung ist definiert als:
> Au = k $ * $ u = $ [mm] \int_{\omega} [/mm] $ k(x) $ [mm] \cdot [/mm] $ u(x-y) dy
Neben den angesprochenem Problem oben, schreibst du als Integrationsvariable "dy".
Das schreibt man aber nur, wenn man das Lebesgue-Maß zugrunde legt.
Zusätzlich schreibst du
> $ [mm] \Omega, \omega ,\Omega' \in \mathbb{R}^2, [/mm] $ k $ [mm] \in L^1(\omega) [/mm] $
Das macht vorne erst Recht keinen Sinn… Mengen können kein Element von [mm] \IR^2 [/mm] sein.
Aber nehmen wir mal an, du meinst stattdessen [mm] $\Omega \subseteq \IR^2$, [/mm] gleichzeitig wird angenommen $k(x)=1$
Dies geht aber nur, wenn [mm] \Omega [/mm] endliches Maß hat, sonst wäre [mm] $k\not\in L^1(\Omega)$.
[/mm]
Also da bitte noch nachjustieren…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 04.02.2021 | | Autor: | Noya |
> Hiho,
>
> > injektiv bedeutet ja [mm]u_1[/mm] = [mm]u_2 \Rightarrow A(u_1)= A(u_2).[/mm]
>
> Nein, das ist trivial für jeden Operator [mm]A[/mm].
> Andererseits wäre A ja nicht mal wohldefiniert.
>
> Injektiv bedeutet:
> [mm]A(u_1) = A(u_2) \Rightarrow u_1 = u_2[/mm]
>
> > Die Faltung ist definiert als:
> >
> > Au = k [mm]\*[/mm] u = [mm]\int_{\omega}[/mm] k(x) [mm]\cdot[/mm] u(x-y) dy
> 1.) Unters Integral gehört ein großes [mm]\omega[/mm], also
> [mm]\Omega[/mm]
> 2.) Im Integral muss k(y) stehen, nicht k(x)
> 3.) Und sauber aufgeschrieben hast du das auch nicht,
> denn: Die linke Seite hängt ja offensichtlich nicht von x
> ab, die rechte aber schon.
> Notiere das sauber!
Hab einen Tippfehler gefunden. Danke!
Au(x) = [mm] (k\* [/mm] u)(x) = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y) u(x-y)dy
So müsste es jetzt korrekt und sauber sein.
>
> > Wähle ich nun k(x)=1:
> >
> > Au = 1 [mm]\*[/mm] u = [mm]\int_{\omega}[/mm] 1 [mm]\cdot[/mm] u(x-y) dy =
> > [mm]\int_{\omega}[/mm] u(x-y) dy
> Bis aufs [mm]\Omega[/mm] ok.
>
>
> > Dies gilt für alle u [mm]\in L^1(\Omega).[/mm] Also wenn [mm]u_1[/mm] = [mm]u_2[/mm]
> so ist auch [mm]Au_1[/mm] = [mm]Au_2[/mm]
> Das ist trivial.
>
> > und somit injektiv, oder?.
> Und das ist jetzt wegen dem Beginn halt falsch.
>
> Du beginnst also mit: [mm]A(u_1) = A(u_2)[/mm] und sollst nun
> zeigen: [mm]u_1 = u_2[/mm]
> Und hier wird jetzt die saubere Notation
> relevant! Warum?
Dank schonmal :)
Also wir haben
u [mm] \in L^1(\Omega)
[/mm]
k [mm] \in L^1(\omega)
[/mm]
gezeigt haben wir in der Vorlesung $(k [mm] \* [/mm] u) [mm] \in L^1(\Omega').$
[/mm]
und haben definiert
$(k [mm] \* [/mm] u)(x) = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(x) u(x-y)dy [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \Omega'$
[/mm]
[mm] (\omega [/mm] und [mm] \Omega' [/mm] haben wir da darauf auch andere Funktionen definiert sind. Für [mm] \omega [/mm] haben wir noch gegeben, dass $supp k = [mm] \omega$)
[/mm]
Und halt den linearen und stetigen Operator
A : [mm] L^1(\Omega) \to L^1(\Omega') [/mm] u [mm] \mapsto [/mm] k [mm] \*u [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{L(L^1(\Omega),L^1(\Omega'))} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] k [mm] \parallel_{L^1(\omega)}
[/mm]
zz. A injektiv für k(x)=1 für alle [mm] x\in \omega:
[/mm]
[mm] A(u_1(x))=A(u_2(x))
[/mm]
[mm] \gdw Au_1(x) [/mm] = (k [mm] \ast u_1)(x)= \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_1(x-y)dy [/mm] = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_2(x-y)dy [/mm] = (k [mm] \ast u_2)(x)=Au_2(x)
[/mm]
Jetzt verwirrt mich für k(x)=1 aber ich habe ja k(y) im Integral...Irgendwie weiß ich jetzt gar nicht mehr weiter.
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Hiho,
> [mm](\omega[/mm] und [mm]\Omega'[/mm] haben wir da darauf auch andere
> Funktionen definiert sind. Für [mm]\omega[/mm] haben wir noch
> gegeben, dass [mm]supp k = \omega[/mm])
Aha, ist dir klar, was das bedeutet?
Für die weiteren Nachrichten nehmen wir der Einfachheit halber mal an [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \Omega' [/mm] = [mm] \omega$ [/mm]
Das macht den Aufschrieb einfacher.
> Jetzt verwirrt mich für k(x)=1 aber ich habe ja k(y) im
> Integral...Irgendwie weiß ich jetzt gar nicht mehr weiter.
Wie du die Variable nennst, ist doch völlig schnuppe… macht es einen Unterschied, ob ich schreibe
$k(x) = 1, x [mm] \in \omega$ [/mm] oder $k(y) = 1, y [mm] \in \omega$ [/mm] ??
Gruß,
Gono
PS: Beachte auch mal das edit, was ich der ersten Antwort noch hinzugefügt hab…
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 05.02.2021 | | Autor: | Noya |
Hallöchen,
Danke :)
>>Für [mm]\omega[/mm] haben wir noch
> > gegeben, dass [mm]supp k = \omega[/mm])
> Aha, ist dir klar, was
> das bedeutet?
Dies bedeutet, dass k auf ganz [mm] \omega [/mm] nicht 0 ist, oder?
>
> macht es einen Unterschied, ob ich schreibe
> [mm]k(x) = 1, x \in \omega[/mm] oder [mm]k(y) = 1, y \in \omega[/mm] ??
Nein.
OK also nochmal
[mm] A(u_1(x))=A(u_2(x))
[/mm]
[mm] \gdw Au_1(x) [/mm] = (k [mm] \ast u_1)(x)= \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_1(x-y)dy [/mm] = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_2(x-y)dy [/mm] = (k [mm] \ast u_2)(x)=Au_2(x)
[/mm]
[mm] \gdw \int_{\omega}k(y) u_1(x-y)dy [/mm] - [mm] \int_{\omega}k(y) u_2(x-y)dy [/mm] =0
[mm] \gdw \int_{\omega} k(y)(u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0
Das Integral ist nur = 0, wenn entweder k = 0 auf [mm] \omega [/mm] oder [mm] (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))= [/mm] 0.
Da nun $supp k = [mm] \omega$ [/mm] ist, ist k [mm] \not= [/mm] 0 auf [mm] \omega. [/mm] also muss [mm] (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))= [/mm] 0 und somit [mm] u_1=u_2.
[/mm]
(In meinem Spezialfall ist k=1; Also auch [mm] \not= [/mm] 0).
Sehe ich da so korrekt?
Und somit
[mm] A(u_1(x))=A(u_2(x)) \Rightarrow u_1(x) [/mm] = [mm] u_2(x) [/mm] und somit ist der Operator injektiv, oder?
Abert damit wäre er ja für alle k injektiv, oder? Was laut Skript nicht der Fall ist.
Vielen Dank und liebe Grüße
Noya
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Fr 05.02.2021 | | Autor: | fred97 |
Ich habe mir nicht allse angeschaut, was Du und Gono oben diskutiert habt. Aber folgendes kann ich nicht akzeptieren: Du schreibst
"Das Integral ist nur $= 0$, wenn entweder $ k = 0$ auf $ [mm] \omega [/mm] $ oder $ [mm] (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))= [/mm] 0.$"
Mit Deiner Logik hätten wir:
[mm] $0=\int_{-1}^1 [/mm] x [mm] dx=\int_{-1}^1 [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] x dx$ , also ist entweder $1=0$ oder $x=0.$
Das ist Unfug !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 05.02.2021 | | Autor: | Noya |
> Ich habe mir nicht allse angeschaut, was Du und Gono oben
> diskutiert habt. Aber folgendes kann ich nicht akzeptieren:
> Du schreibst
>
> "Das Integral ist nur [mm]= 0[/mm], wenn entweder [mm]k = 0[/mm] auf [mm]\omega[/mm]
> oder [mm](u_1(x-y) - u_2(x-y))= 0.[/mm]"
>
> Mit Deiner Logik hätten wir:
>
> [mm]0=\int_{-1}^1 x dx=\int_{-1}^1 1 \cdot x dx[/mm] , also ist
> entweder [mm]1=0[/mm] oder [mm]x=0.[/mm]
>
Tut mir Leid.Das verstehe ich nicht. Könntest du das näher erläutern?
> Das ist Unfug !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 05.02.2021 | | Autor: | fred97 |
> > Ich habe mir nicht allse angeschaut, was Du und Gono oben
> > diskutiert habt. Aber folgendes kann ich nicht akzeptieren:
> > Du schreibst
> >
> > "Das Integral ist nur [mm]= 0[/mm], wenn entweder [mm]k = 0[/mm] auf [mm]\omega[/mm]
> > oder [mm](u_1(x-y) - u_2(x-y))= 0.[/mm]"
> >
> > Mit Deiner Logik hätten wir:
> >
> > [mm]0=\int_{-1}^1 x dx=\int_{-1}^1 1 \cdot x dx[/mm] , also ist
> > entweder [mm]1=0[/mm] oder [mm]x=0.[/mm]
> >
> Tut mir Leid.Das verstehe ich nicht. Könntest du das
> näher erläutern?
Was ich Dir sagen wollte ist: aus [mm] $\int_{\omega} [/mm] f(x)g(x) dx=0$ folgt i.a. nicht $f=0$ oder $g=0.$
In meinem obigen Beispiel war [mm] $\omega [/mm] = [-1,1], f(x)=1 $ und $g(x)=x.$
> > Das ist Unfug !
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Fr 05.02.2021 | | Autor: | Noya |
Ah! Danke für die Erklärung!
aber wenn k(x)=1 für alle x [mm] \in \omega [/mm] :
[mm] A(u_1(x))=A(u_2(x))
[/mm]
[mm] \gdw Au_1(x) [/mm] = (k [mm] \ast u_1)(x)= \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_1(x-y)dy [/mm] = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_2(x-y)dy [/mm] = (k [mm] \ast u_2)(x)=Au_2(x)
[/mm]
[mm] \gdw \int_{\omega}k(y) u_1(x-y)dy [/mm] - [mm] \int_{\omega}k(y) u_2(x-y)dy [/mm] =0
[mm] \gdw \int_{\omega} k(y)(u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0
[mm] \gdw \int_{\omega} (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0
Dann wäre aber [mm] (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))= [/mm] 0, damit das Integral 0 ist und somit [mm] u_1=u_2.
[/mm]
Und somit Injektivität wenn k = 1 oder?
Irgendwie vewirre ich mich gerade selbst fürchterlich...
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Hiho,
> [mm]\gdw \int_{\omega} (u_1(x-y)[/mm] - [mm]u_2(x-y))dy[/mm] =0
Soweit ok.
> Dann wäre aber [mm](u_1(x-y)[/mm] - [mm]u_2(x-y))=[/mm] 0, damit das
> Integral 0 ist und somit [mm]u_1=u_2.[/mm]
Und das ist doch Unsinn.
Du behauptest also: Ein Integral kann nur Null sein, wenn der Integrand Null ist.
Na dann berechne mal [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] x dx$, wie von fred vorgeschlagen.
> Irgendwie vewirre ich mich gerade selbst fürchterlich...
Ja, wenn selbst die Grundlagen nicht sitzen, wird es schwer mit den Beweisen…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:27 Di 09.02.2021 | | Autor: | Noya |
Hallo,
> > [mm]\gdw \int_{\omega} (u_1(x-y)[/mm] - [mm]u_2(x-y))dy[/mm] =0
> Soweit ok.
>
> > Dann wäre aber [mm](u_1(x-y)[/mm] - [mm]u_2(x-y))=[/mm] 0, damit das
> > Integral 0 ist und somit [mm]u_1=u_2.[/mm]
> Und das ist doch Unsinn.
> Du behauptest also: Ein Integral kann nur Null sein, wenn
> der Integrand Null ist.
Nein, aber eine Möglichkeit wäre es.
> Na dann berechne mal [mm]\int_{-1}^1 x dx[/mm], wie von fred
> vorgeschlagen.
>
[mm] \int_{-1}^1 [/mm] x dx =0.
Dann wäre eine weitere Option, dass [mm] \int(u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0, wenn die Stammfunktionen gleich sind, oder?
Ich war irgendwie die ganze Zeit beim Fundamentallemma der Variationsrechung...
Könnte mir bitte jemand einen Wink mit dem Holzzaun geben?
Irgendwie sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
Vielen Dank und liebe Grüße
Noya
EDIT:
Betrachte ich [mm] \int [/mm] f(x) =0.
Und sei F die Stammfunktion von [mm] \int [/mm] f(x) dx. Also F = [mm] \int [/mm] f(x) dx, dann gilt ja auch F' =f.
Also dann F=0 und F' = 0 = f oder?
Übertrage ich das jetzt auf mein Problem:
U = [mm] \int(u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0
U' = [mm] (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y)) [/mm] = 0 und hätte dann wieder wie oben gesagt, dass [mm] (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y)) [/mm] = 0 und somit [mm] u_1=u_2. [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 12.02.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:49 Mi 10.02.2021 | | Autor: | Noya |
Hallöchen.
Ich versuche nochmal alles ausführlich auszuschreiben :
[mm] \Omega \subset \mathbb{R}^2 [/mm] offen und beschränkt,
f [mm] \in L^1(\Omega)
[/mm]
Faltungsoperator A: [mm] L^1(\Omega) \to L^1(\Omega') [/mm] u [mm] \mapsto [/mm] k [mm] \ast [/mm] u mit Faltungskern k [mm] \in L^1(\omega)
[/mm]
für [mm] \omega, \Omega' \subset \mathbb{R}^2 [/mm] geeignet
supp k = [mm] \omega
[/mm]
[mm] \Omega' [/mm] - [mm] \omega [/mm] = [mm] \{ x-z \in \mathbb{R}^2 : x \in \Omega', z \in \omega\} \subset \Omega
[/mm]
Faltung von u und k : (k [mm] \ast [/mm] u) (x) = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y)u(x-y)dy [mm] \forll [/mm] x [mm] \in \Omega'
[/mm]
und Au(x) = k [mm] \ast [/mm] u (x) = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y)u(x-y)dy
Wir haben in der VL gezeigt, dass :
-für k [mm] \L^1(\omega) [/mm] und u [mm] \in L^p (\Omega) [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \infty [/mm] so ist (k [mm] \ast [/mm] u) [mm] \in L^p(\Omega') [/mm] und [mm] \parallel [/mm] k [mm] \ast [/mm] u [mm] \parallel_{L^p (\Omega')}\le \parallel [/mm] k [mm] \parallel_{L^1 (\omega)} \parallel [/mm] u [mm] \parallel_{L^p (\Omega)}
[/mm]
- Faltung ist symmetrisch (k [mm] \ast [/mm] u)(x) = (u [mm] \ast [/mm] k)(x)
-Faltung it linear in u für festes k
- Der Operator A: [mm] L^1(\Omega) \to L^1(\Omega') [/mm] definiert linearen und stetigen Operator mit [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{L(L^p,L^p)} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] k [mm] \parallel_{L^1}
[/mm]
Ich will zeigen, dass der Operator A injektiv ist für k(x)=1 für alle x [mm] \in \omega.
[/mm]
Ich fange an mit [mm] A(u_1)(x)= A(u_2)(x) [/mm] und möchte daraus folgern, dass dann [mm] u_1=u_2 [/mm] ist.
[mm] A(u_1(x))=A(u_2(x))
[/mm]
[mm] \gdw Au_1(x) [/mm] = (k [mm] \ast u_1)(x)= \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_1(x-y)dy [/mm] = [mm] \int_{\omega} [/mm] k(y) [mm] u_2(x-y)dy [/mm] = (k [mm] \ast u_2)(x)=Au_2(x)
[/mm]
[mm] \gdw \int_{\omega}k(y) u_1(x-y)dy [/mm] - [mm] \int_{\omega}k(y) u_2(x-y)dy [/mm] =0
[mm] \gdw \int_{\omega} k(y)(u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0
k(x)=1 für alle x [mm] \in \omega [/mm] :
[mm] \gdw \int_{\omega} (u_1(x-y) [/mm] - [mm] u_2(x-y))dy [/mm] =0
Und hier weiß ich nun immer noch nicht weiter. Ich habe Bücher und Skripte gewälzt.
Bitte bitte bitte helft mir hier weiter und gebt mir einen Hinweis. Ich möchte das so gerne vertehen.
Ich hatte jetzt noch irgendwo gelesen, dass ein linearer Operator injektiv ist, wenn Kern(A)=0 ist.
Ist Kern(A) = 0, und ist [mm] A(u_1) [/mm] = [mm] A(u_2), [/mm] so ist [mm] A(u_1)-A(u_2)= A(u_1-u_2) [/mm] = 0 (da A linear), also [mm] u_1-u_2 [/mm] in Kern(A) = 0, also [mm] u_1=u_2.
[/mm]
Also muss ich zeigen, dass der Ker(A)=0 ist für k(x)=1.
Dies würde ja bedeuten:
Ker(A)=0
0= Au(x)
0= [mm] \parallel [/mm] Au(x) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] (k [mm] \ast [/mm] u) [mm] (x)\parallel [/mm] = [mm] \parallel (1\ast [/mm] u) [mm] (x)\parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] u [mm] (x)\parallel [/mm] und daraus folgt u =0.
Also ist u=0 die einzige Lösung von Au(x)=0 und somit ist der Kern A = 0 und somit ist A injektiv?
Wäre das so korrekt?
Vielen Dank und liebe Grüße
Noya.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 13.02.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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