Faltung exp.verteilte ZVen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Für zwei unabhänginge Zufallsgrößen X und Y betsimme man die Wahrscheinlichkeitsdichte [mm] f_Z [/mm] der Zufallsgröße Z=X+Y, falls X und Y jeweils exponentialverteilt sind mit den Parametern [mm] \lambda [/mm] bzw [mm] \mu. [/mm] |
Hallo,
ich hab gelesen, dass die Faltung von zwei exp verteilten ZVen mit gleichem Parameter [mm] \lambda [/mm] eine Gammaverteilung gibt. Was passiert für zwei unteschiedliche Paramter? ich bekomme leider keine "schöne Verteilung" heraus:
[mm] f_{X+Y} [/mm] = [mm] \int_{\mathb{R}} f_X(u) f_y(z-u) [/mm] du
= [mm] 1_{[0,\infty)}(z) \lambda \mu e^{-z \mu} \int_0^z e^{(\mu - \lambda) u} [/mm] du
= [mm] 1_{[0,\infty)}(z) \lambda \mu e^{-z \mu} \frac{1}{\mu - \lambda} (e^{(\mu - \lambda) z} [/mm] - 1)
ist das richtig so?
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Riley,
ob die Verteilung schön ist oder nicht, sei mal dahingestellt  . Auf jeden Fall kann ich keinen Fehler in Deiner Herleitung entdecken.
Ich habe unabhängig davon mal die Sache hergeleitet, habe dabei aber nicht y substituiert, sondern x, was ja auch gehen muss.
Dann bekomme ich für z > 0 die folgende Verteilung:
$$ f(z) = [mm] \bruch{ \lambda \mu e^{-\lambda z}}{(\lambda - \mu )} \cdot \left[e^{(\lambda - \mu) z} -1 \right] \, [/mm] . $$
Man sieht, wenn man die Parameter [mm] \lambda \, \rm{und} \, \mu [/mm] vertauscht, kommt das Gleiche raus und das ist doch schon mal ganz gut.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Infinit,
danke fürs Nachrechnen!
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
|
