Faltung Grenzen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 25.06.2011 | | Autor: | kappen |
Hi Leute!
Habe eine Frage bezüglich der Integrationsgrenzen bei der Faltung in einem konkreten Beispiel:
meine Funktion h(t) lautet [mm] h(t)=\Gamma(t)*e^{-t}, [/mm] wobei [mm] \Gamma [/mm] die Sprungfunktion ist.
Diese Funktion möchte ich mit einer Rechteckfunktion mit der Amplitude [mm] U_0, [/mm] die um T/2 nach rechts verschoben ist (linke Kante des Rechtecks somit bei t=0) [mm] x(t)=U_0*rect_T(t-T/2) [/mm] falten.
Erste Frage: Mit welcher Funktion ist es sinnvoller, die Verschiebung durchzuführen? Ich habe hier das Rechteck gewählt, weil ich dachte, das wäre einfacher.. mal sehen.
Ich spiegel also x(t) an der x-Achse und verschiebe das Rechteck mit t von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] +\infty.
[/mm]
Ich sehe, dass bis t=0 nichts passiert, also ist bis dahin die Faltung = 0.
Bei t=0 schiebt sich das Rechteck langsam in die Funktion, die obere Grenze für Tau ist t, weil für [mm] \tau>t [/mm] das Rechteck=0 und somit die Faltung = 0 ist.
Jetzt bin ich bei dem Punkt t=T angekommen. Das Rechteck ist vollständig drin. Was passiert jetzt? Muss ich nochmal integrieren? Denn das Rechteck bleibt ja quasi bis [mm] t=\infty [/mm] in der Funktion, muss ich dann überhaupt ein 2. Integral machen? Mit [mm] 0<\tau
Wie muss ich hier also weiter vorgehen?
Und noch was, gibt es schematische Lösungen für die Intervallfindung? Weil so wird das ja halbgraphisch gemacht, wie kann ich konsequent mit Fallunterscheidungen das Problem lösen? Das Blöde dabei ist ja, dass ich 2 Variable Größen habe, t und [mm] \tau, [/mm] und auch noch 2 unterschiedliche Funktionen.. Wird schnell äußerst unübersichtlich.
Danke ganz herzlich für eure Antworten !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo kappen,
die Vorgehensweise ist okay. Solange sich beide Funktion komplett überlappen, bleibt der Integralwert konstant. Für welche Zeitspanne von t das gilt, das hängt von der "Breite" der Funktionen ab. Da Deine Sprungfunktion zeitlich nicht begrenzt ist, bleibt dieser Wert für einen unendlich langen Zeitraum erhalten. In der Praxis dürfte sowas kaum vorkommen, beim Rechnen in der Netzwerktheorie dagegen schon.
Um sich die Verhältnisse klar zu machen, empfehle ich immer das Aufzeichnen beider Funktionen, man kommt sonst einfach zu schnell durcheinander, zumindest mir geht es so.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 25.06.2011 | | Autor: | kappen |
Hi!
Die Sprungfunktion und somit die E-Funktion ist in der Tat nicht begrenzt. Aber das Rechteck mit der Breite T ja eben schon.
Deswegen frage ich ja, muss ich noch ein weiteres Intervall dazupacken für den Fall, ab dem das Rechteck aufhört, oder nicht?
Danke für die Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
durch das Falten ergeben sich drei Bereiche.
Bereich 1) Das Rechteck überlappt sich noch nicht mit der Sprungfunktion
Bereich 2) Das Rechteck wandert in die Sprungfunktion rein.
Bereich 3) Das vollständige Rechteck wandert durch die Sprungfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 25.06.2011 | | Autor: | kappen |
Ja genau. Bereich 1 + 2 habe ich schon hingeschrieben. Aber wie sieht Bereich 3 aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Im Bereich 3 schiebt sich doch die Rechteckfunktion mit der Amplitude [mm] U_0 [/mm] durch die Sprungfunktion, die normalerweise eine Amplitude von 1 besitzt. Die Dauer der Rechteckfunktion ist [mm] T [/mm] und so bekommst Du ein extrem simples Integral, das gerade der Fläche der Rechteckfunktion entspricht, also [mm] U_0 \cdot T [/mm] ergibt. Auf diesem Wert bleibt die Faltung dann stehen, egal wie lange Du schiebst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 25.06.2011 | | Autor: | kappen |
Aber da ist doch noch die e-Funktion "im Weg"? Die verringert doch die Amplitude von [mm] U_0 [/mm] und somit ist der Flächeninhalt nicht konstant? Ich würde eigentlich nur gerne wissen, wie für [mm] \tau [/mm] die 3. Grenzen sind, ausrechnen kann ichs mir dann selbst denk ich.
Nur nochmal zum ins Gedächtnis holen, wir sind an dem Punkt, an dem das Rechteck mit der Amplitude [mm] U_0 [/mm] und der Breite T vollständig in der anderen Funktion (Sprung*e-Funktion) "verschwunden" ist. Die linke Seite des Rechteckes steht bei [mm] \tau=0. [/mm] Jetzt verschiebt sich das Rechteck endlos weiter Richtung [mm] t=\infty. [/mm] Dabei werden jedes Mal die beiden Funktionen an einem Punkt t multipliziert. Stimmt das? Wie sind denn jetzt die Grenzen für [mm] \tau? [/mm] Im 2. Intervall waren sie 0 bis t, sind sie jetzt t-T bis t+T oder so?
Dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo kappen,
sorry, die e-Funktion hatte ich komplett verdrängt, aber keine Angst, die kriegen wir auch noch unter. Die Rechteckfunktion hat eine Breite von T, wie wir festgestellt haben, dass heisst also, dass für Verschiebungen t >T sich die Rechteckfunktion mit der e-Funktion deckt und auf ihr sozusagen entlang geschoben wird für größere t-Werte. Jetzt kommen wir aber erst mal zu den Grenzen. Für t = 0 sind die Integralgrenzen [mm]\tau = 0 [/mm] und [mm] \tau = T [/mm], für t = 2T dann [mm]\tau = T [/mm] und [mm] \tau = 2T [/mm]. Für einen allgemeinen Zeitpunkt t, der größer ist als T, bekommt man also das Integral
[mm] \int_{\tau=t-T}^{\tau=T} e^{-\tau}\, d\tau [/mm].
Dieses Integral ist zu lösen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:30 So 26.06.2011 | | Autor: | kappen |
okay sehr schön :) danke!
Ich stell hier gleich mal die nächste Frage zu, wenn ich n neuen Thread aufmachen soll bitte Bescheid sagen!
Ich möchte folgendes machen: [mm] \integral_0^t{\delta(\tau)\cdot\frac{1}{b}e^\frac{-t+\tau}{b}d\tau}
[/mm]
Kann man das überhaupt machen, oder muss ich von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] integrieren? Weil dann kann ich ja die Ausblendeigenschaft der Delta Distribution verwenden.
Kann man das nicht "manuell" per partieller Integration ausrechnen? Wenn ich das jedenfalls versuche kommt 0 raus:
[mm] f'=\delta(\tau)
[/mm]
[mm] f=\Gamma(\tau)
[/mm]
[mm] g=\frac{1}{b}e^\frac{-t+\tau}{b}
[/mm]
[mm] g'=\frac{1}{b^2}e^\frac{-t+\tau}{b}
[/mm]
und damit [mm] f*g|_0^t-\integral_0^t{f*g' d\tau}=1*\frac{1}{b}e^\frac{-t+\tau}{b}|_0^t-\integral_0^t{\frac{1}{b^2}e^\frac{-t+\tau}{b}*1 d\tau}=\frac{1}{b}-\frac{1}{b}e^\frac{-t}{b}-(\frac{1}{b}-\frac{1}{b}e^\frac{-t}{b})=0
[/mm]
wieso ist das so? Kann ich das nicht so ausrechnen?
Danke & schöne Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Di 28.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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