Faltung, Faltungsintegral < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:45 Di 22.05.2012 | | Autor: | aha |
Guten Morgen!
Ic h habe zwar schon mal "von außen" in den MatheRaum hineingesehen.
Aber jetzt bin ich das erstemal in einem Forum.
Den ganzen Aufbau finde ich beeindruckend und diese "Hilfegemeinschaft" einfach toll.
Mit 77 stehe ich der Selbstverständlichkeit des Internets trotz häufiger Nutzung immer noch etwas hilflos gegenüber (z.B. der Nutzung der Eingabehilfen usw.). Aber es üüübt ja - hoffentlich...
Nun mein Fachproblem: Faltung.
Das ist lange her, ein Thema in einem Mathe-Oberseminar, kaum selbst verstanden und nie wieder gebraucht, weder als Dipl.-Ing. noch als Mathelehrer im Gymnasium.
In meinen alten Hochschulbüchern taucht das Thema gar nicht auf
Mittlerweile erkenne ich, dass sie in vielen Anwendungen offenbar eine große Rolle spielt ...
Mit der formalen Definition kann ich zwar einigermaßenm umgehen; aber der Sinn?
Wenn sich jemand aus der Gemeinschaft bereit fände, mit sozusagen begrifflichen Anschauungs"unterricht" zu geben, wäre ich sehr froh.
Bei wikipedia steht:
"Die Faltung zweier Funktionen ist definiert durch
(f*g)(x) = [mm] integral_{a}^{b}{f(t)g(x-t) dt}
[/mm]
Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von wohldefiniert ist." Zitatende
(- Genau gesagt, steht dort nicht Integral vo a bis b, sondern Integral auf [mm] R^n [/mm] -).
Aber welche Vorstellung verbindet ein Mathematiker mit dem Begriff "Faltung"? Jenseits des Fachbegriffs denkt man doch sofort an eine Papierfaltung oder so was . Was bedeutet es aber hier?
Was wird gefaltet oder wer faltet wen?
Die eine Fkt. f ist nur auf einem t-Intervall definiert, die andere, g (g(x-t)) ebenfalls, sie enthält noch die Variable x , hier als Parameter...
Offenbar ist x bei der Integration als "konstant" zu betrachten? Sozusagen als lokaler Zustand?
Im Schlembachverlag ist eine Leseprobe (www.schlembach-verlag.de/pdf/283/Fliege_SuS_Leseprobe1.pdf) wiedergegeben, da werden zwei auf der Zeitachse 'tau' laufende Signale "gefaltet", Parameter ist die Zeit t - rechnerisch nachvollziehbar aber begrifflich "Bahnhof".
Mein Problem ist also, dass ich mir begrifflich nichts daruntger vorstellen kann, bis es mir jemand netterweise einmal gut erklärt!
Dafür, falls das möglich ist, bedanke ich ich schon jetzt.
Ich möchte gar kein Zeitlimit setzen - aber das Eingabefeld unten lässt mir ja keine andere Wahl als max. 1 Monat
Das hatte ich vergessen:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 22.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Aus der Datenauswertung habe ich ein Beispiel:
Ein möglichst scharfer Licht-(Röntgen, ...) Strahl triftt auf einen Detektor mit Kollimator, der senkrecht zur Strahlrichtung verfahren wird. Im idealisierten Fall gibt es nun genau einen Punkt, in dem der Detektor den Stahl sieht, davor und dahinter wird das Licht vom Kollimator absorbiert.
Nun ist der Strahl aber nicht unendlich scharf. Nehmen wir einen unendlich scharfen Kollimator an, dann kann man mit dem Detektor das Strahlprofil ausmessen.
Aber auch der Kollimator ist nicht beliebig schmal. Nehmen wir nun an, der Strahl ist extrem schmal, aber der Kollimator nicht, dann sieht der Detektor schon etwas von Strahl, obwohl er noch nicht genau ausgerichtet ist. Es wird also ein Akzeptanzprofil des Detektors gemessen.
In der Praxis haben nun beide, Strahl und Detektor ihr Profil. Wenn nun der Detektor langsam durch den
Strahl fährt, dann sieht er zuerst mit dem Rand seines Akzeptanzprofils den Rand des Strahlprofils, bis irgendwann die Profilmitten genau übereinander liegen und anschließend fährt er wieder aus dem Strahl. Dieses Überlappen der Profile, die gegeneinander verschoben werden, ist die Faltung. Wenn man die beiden einzelnen Profile kennt, dann kann man mit der Faltung das Ergebnis dieses Versuchs berechnen. In der Praxis war es genau andersherum. Zum Beispiel wurde aus dem bekannten Detektorprofil anhand der Messung das unbekannte Strahlprofil rekonstruiert.
Ein ähnliches Beispiel war eine LED mnit scharfem Lichtstrahl, die vor einem Stück Film hin und her bewegt wurde. Auch die beleuchtet nicht eine mathematische Linie auf dem Film, sondern einen Abschnitt des Films. In der Mitte des Abschnitts mehr, weniger an den Rändern. Nun war die Frage, wie lange die LED an welcher Position war? Hier ergibt sich die Schwärzung des Films aus den verschiedenen Positionen mit den Zeiten, die die LED an diesen Positionen verbracht hat und natürlich auch, wie lange sie knapp daneben stand. Das ist eine Faltung der Aufenthaltszeit mit der Lichtverteilung der LED.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 23.05.2012 | | Autor: | aha |
Herzlichen Dank, ChrisNo!
Das freut mich, dass ein unbekannter Helfer mein Thema aufgegriffen hat!
Das erste Beispiel ist mir vom Handling her sehr vertraut (Rö-Str.-Bündel, Braggversuch, Zählrohrspalt); die Beispiele kann ich jetzt anschaulich mit dem Begriff "Faltung" verbinden. Dass es "Faltung" heißt, ist halt so, und als begriffliche Eselsbrücke für das Wort denke ich an das Zusammenfalten eines Tuchs oder eines Blattes Papier , - ist das so o.k.?
(Fühle mich z.Zt. total als Schüler, ganz neues Daseinsgefühl - na ja, so ganz neu ja eigentlich doch nicht - man ist es ja eigentlich immer.)
Jetzt muss wohl aus dem konkreten Beispiel eine allg. mathemat. Definition folgen, als nächster Schritt?
Ich würde aber gern noch bei dem Strahl-Kollimator-Beispiel verweilen, um das Neue zu vertiefen - und je einfacher die Profile, desto besser:
Könnte man für das Intensitäts-Profil des Strahls z.B. die Funktion
f: [mm] f(x)=\begin{cases} 2x+3 & \mbox{für } \mbox{ -1 <,= x < 0} \\ -2x+3 & \mbox{für } \mbox{ 0 <,= x <,= 1} \end{cases} [/mm] (<,= soll [mm] \le [/mm] bedeuten!)
nehmen?
Aber nun das Profil des Kollimators?
Angenommen, er hat eine Spaltbreite von [mm] \Delta [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ;
Welchen Funktionswert könnte er haben? - wenn er nicht an den Rändern halbdurchlässig usw. sein soll, dann müsste er doch wohl eine konstante Durchlässigkeit über die ganze Breite haben, z.B. 5 oder als Konstante k ?
Also
[mm] g:g(x)=\begin{cases} k & \mbox{für } \mbox{ -0,25 <,= x < 0} \\ k & \mbox{für } \mbox{ 0 <,= x <,= 0,25} \end{cases} [/mm] .
Und außerhalb des Gesamtintervalles die Durchlässigkeit Null.
Entweder wandert der Peak über den Spalt oder der Spalt über den Peak.
Das letztere ist für mich griffiger.
Wie groß ist die durchgelassene Intensität bei den einzelnen Lagen "x" des Spaltes?
Intervallweise könnte ich die Aufgabe für eine Anzahl von Lagen punktweise leicht lösen und dazu eine von der Spalt-Lage abhängige Intensitätsfunktion aufstellen - ist es das? Ist diese Vorstellung richtig?
Aber wie bringe ich ein sozusagen wanderndes Koordinatensystem mit Spalt mit dem als "ruhend" gedachten Röntgenpeak zusammen?
Mir ist schon klar, dass da was integriert werden muss im kontinuierlichen Fall. Aber für dieses Problem fehlt mir im Moment die Erfahrung und Übung und -... der richtige Ansatz!
Leider bin ich über Pfingsten verrreist, so dass ich hier erst mal eine Pause einlegen muss.
Aber es wäre schön, könnte ich dann wieder auf weitere Hilfe hoffen.
Herzl. Pfingstgrüße
aha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mi 23.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Mein Vorschlag: mach es noch viel einfacher und erst einmal diskret.
Ein Strahl mit Rechteckprofil, sagen wir 3 mm breit und ein Kollimator auch mit Rechteckprofil, 2 mm breit. Wenn eins der beiden Profile deutlich schmaler ist als das andere, dann sieht man die Effekte zu wenig. Nun stellst Du den Strahl mit seiner Mitte bei x = 0 hin, das Rechteck geht also von -1,5 bis 1,5. Das Rechteck steht zuerst mit seiner Mitte bei -3, es geht also von -4 bis -2.
Beide Rechtecke überlappen sich nicht. Es kommt also nichts beim Detektor an. Nun verfahre das Rechteck um 0,1 m. Weiterhin nichts. Setze das fort, und die Bereiche werden sich überlappen. Die Größe der überlappten Fläche gibt die gemessene Intensität. Zeichne nun die Intensität in Abhängigkeit von der Detektorstellung.
Dann schau Dir mal die erste Animation in ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 25.05.2012 | | Autor: | aha |
Danke für den Hinweis, ChrisNo.
Bisher habe ich also gelernt, was man anschaulich-mathematisch unter einer Faltung (als Vorgang) versteht.
Das Wikipedia-Beispiel hat mir gezeigt, dass die Faltung einer Rechteck-Fkt. mit sich selbst eine Dreiecksfunktion doppelter Breite ergibt.
Außerdem, dass das "festliegende" Rechteck zu einer "Gewichtsfunktion" gehört und das einwandernde zu der "gewichteten" Fkt.
In Deinem Beispiel ist also die rechteckige Strahlverteilung die Gewichtsfunktion und der wandernde Kollimatorspalt die gewichtete Fkt.
Ist das erstmal so richtig?
Die numerische Faltung ergibt bei mit eine Trapezverteilung, die bei x = -2,5 beginnt , linear ansteigt, bei x = -0,5 das Plateau erreicht - bis x = +0,5, und dann linear fällt bis auf 0 bei x = 2,5; Breite 5( = 3+2),
wenn man, wie bei Wikipedia, die Flächenwerte über der Mitte des wandernden Spaltes aufträgt.
Meine Frage zu dem Wikipedia-Beispiel:
(formal verstanden, aber...:)
Wie muss ich mir das vorstellen? - beschreibt die Gewichtsfunktion z.B. einen konstanten Impuls über ein Zeitintervall von -1/ bis +1/2 (dadurch das "Rechteck"), und kommt die gewichtete Fkt. als schnellerer Impuls hinterher und überholt den ersten? - Ich kann mir das nicht richtig vorstellen...
Vielleicht besser so: (?): Ein Lichtbündel konstanter Intensität ist über ein Zeitintervall t=-1/2 bis t=1/2 an, also z.B. eine Sekunde lang eingeschaltet;
Ein Kameraverschluss ist auch über eine Sekunde an - aber, nein, das geht eigentlich auch nicht - wie kann man das kombinieren??
- Während man es bei dem Strahl-Rechteck mit einer Verteilung bei fest liegenden x-Intervall zu tun hat - und die gewichtete Fkt. entlang einer Variablen Xi über den Strahl "hinwegläuft", sich tatsächlich bewegt...
An die Frage der Mathematisierung komme ich noch nicht heran.
Gruß aha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Fr 25.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Vorweg: vom Frageformular habe ich wenig Ahnung, ich antworte hier meistens nur. Scroll vor dem Abschicken erst mal nach unten, da kommen oft noch Einstellungsmöglichkeiten.
> Danke für den Hinweis, ChrisNo.
> Bisher habe ich also gelernt, was man
> anschaulich-mathematisch unter einer Faltung (als Vorgang)
> versteht.
> Das Wikipedia-Beispiel hat mir gezeigt, dass die Faltung
> einer Rechteck-Fkt. mit sich selbst eine Dreiecksfunktion
> doppelter Breite ergibt.
> Außerdem, dass das "festliegende" Rechteck zu einer
> "Gewichtsfunktion" gehört und das einwandernde zu der
> "gewichteten" Fkt.
Das ist symmetrisch, daher ist die Zuordnung willkürlich.
> In Deinem Beispiel ist also die rechteckige
> Strahlverteilung die Gewichtsfunktion und der wandernde
> Kollimatorspalt die gewichtete Fkt.
> Ist das erstmal so richtig?
s.o.
> Die numerische Faltung ergibt bei mit eine
> Trapezverteilung, die bei x = -2,5 beginnt , linear
> ansteigt, bei x = -0,5 das Plateau erreicht - bis x = +0,5,
> und dann linear fällt bis auf 0 bei x = 2,5; Breite 5( =
> 3+2),
> wenn man, wie bei Wikipedia, die Flächenwerte über der
> Mitte des wandernden Spaltes aufträgt.
ja
>
> Meine Frage zu dem Wikipedia-Beispiel:
> (formal verstanden, aber...:)
> Wie muss ich mir das vorstellen? - beschreibt die
> Gewichtsfunktion z.B. einen konstanten Impuls über ein
> Zeitintervall von -1/ bis +1/2 (dadurch das "Rechteck"),
> und kommt die gewichtete Fkt. als schnellerer Impuls
> hinterher und überholt den ersten? - Ich kann mir das
> nicht richtig vorstellen...
Das halte ich auch für kene gute Vorstellung. Zuerst einmal kannst Du anstelle der Zeitachse einfach den Detektorort nehmen und so ist das wanderende Rechteck der Akzeptanzbereich des Detektors.
Es geht aber auch mit der der Zeit: Nimm eine elektrische Schaltung, eine Art Verstärker. Wenn Du sie mit einem kurzen Impuls am Eingang anregst, liefert der Ausgang ein Rechteck. Wenn Du nun am Eingang ein Rechteck anlegst, dann liefert der Ausgang das Dreieck.
> Vielleicht besser so: (?): Ein Lichtbündel konstanter
> Intensität ist über ein Zeitintervall t=-1/2 bis t=1/2
> an, also z.B. eine Sekunde lang eingeschaltet;
> Ein Kameraverschluss ist auch über eine Sekunde an -
> aber, nein, das geht eigentlich auch nicht - wie kann man
> das kombinieren??
Du brauchst immer so etwas wie die "Impulsantwort" von oben.
>
> - Während man es bei dem Strahl-Rechteck mit einer
> Verteilung bei fest liegenden x-Intervall zu tun hat - und
> die gewichtete Fkt. entlang einer Variablen Xi über den
> Strahl "hinwegläuft", sich tatsächlich bewegt...
Zur Mathematisierung: Beginne beim Diskreten. Da sind es Summen, die zu berechnen sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 26.05.2012 | | Autor: | aha |
Wie das bei zeitlichen Vorgängen mit der Faltung ist, ist mir vorstellungsmäßig noch immer nicht klar, ist aber im Augenblick nicht vordergründig. Über den Hinweis auf die Verstärker- Ein- und Ausgänge muss ich noch nachdenken.
Was unter der Impulsantwort von oben gemeint ist, ist mir noch nicht klar.
Aber bei den konkreten Beispiele mit Intensitätsverteilungen und Spaltblenden kann ich inzwischen den VORGANG des FALTENS gut nachvollziehen.
Dass man den Flächenwert, also den vom Spalt erfassten Anteil, immer über dem jeweiligen x-Wert der Mitte des (bis jetzt immer symmetrischen) Akzeptanzbereichs (habe ich den Begriff hier richtig benutzt?) aufträgt, erkläre ich mir so, dass man ja gedanklich vom unendlich schmalen Spalt ausgehen kann.
Ich habe auch das von mir neulich vorgeschlagene Beispiel der symmetrischen Dreiecks-Verteilung punkt für punkt, also diskret, durchgerechnet und eine
Flächenkurve erhalten, die quadratisch beginnt und endet, lineare Flanken hat und im mittleren Abschnitt einen Parabelbogen statt einer Spitze hat.
Ich nehme an, dass das das zugehörige Faltungsintegral ist - stimmt das?
Wie sieht aber der Integrand aus?
Nach der Def. müsste er an jeder Stelle x ein Produkt aus Funktionswert der Intensitätsverteilung und einem weiteren Faktor sein, der den Spalt beschreibt.
Du schlägst vor, diskrete Summen zu bilden - wie meinst Du das?
Oder passiert das bereits, indem man Schritt für Schritt die Flächen berechnet, die der Spalt erfasst?
Ist etwa die numerische Integration mittels Flächenstreifen der Breite Dela-x, die ja nacheinander alle aufsummiert werden, auch schon eine Faltung, nur dass dabei die "Spaltbreite" (der Akzeptanzbereich?) so breit ist, dass der linke Rand nicht wirksam werden kann ( g(x) identisch gleich 1) ???
Schöne Pfingstgrüße aha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 27.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
als E-Techniker kenne ich natürlich die Faltung als Bestimmung der Antwort eines linearen Systems auf eine Eingangsgröße hin. Da erkenntman dann auch sehr schön, dass die mathematicshe Behandlung im Fourierbereich einfacher wird, da aus der Faltung im Zeitbereich eine Multiplikation im Fourierbereich wird.
Das Problem bei der Berechnung des Faltungsintegrals ist meist das folgende: Um hier schnell etwas rechnen zu können und auch zu verstehen, wie beispielsweise bei der Berechnung mit den Spaltfunktionen, setzt man stückweise konstante Funktionen an, die man dann aber nicht mehr in klassischer Weise analytisch nett hinschreiben kann, um das hieraus folgende Faltungsintegral zu berechnen. Auch ich mache mir bis heute noch meist eine Zeichnung der beiden zu faltenden Funktionen, spiegele eine der Funktionen an der y-Achse und schiebe sie, Stück für Stück, unter der anderen Funktion durch. Da diese Funktionen meist stückweise stetig sind, funktioniert dies auch ganz gut, aber man findet eben keinen geschlossenen analytischen Ausdruck für das Faltungsintegral.
Ein Beispiel aus letzter Zeit findet Du [url=https://www.vorhilfe.de/read?i=819228] hier [/url, ein etwas älteres mit einer Betrachtung der einzelnen Bereiche hier.
Mit Deiner Aussage zum Aussehen der Integralfunktion hast Du recht. Bei der Faltung von linear steigenden bzw. fallenden Funktionen bekommt man Parabelbögen heraus, für konstante Funktionen, wie beispielsweise Rechteckfunktionen, landet man entsprechend bei linear steigenden bzw. fallenden Funktionen, der Einfachhiet halber meist als Dreiecksfunktion bezeichnet.
Schöne Pfingsten noch,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 28.05.2012 | | Autor: | aha |
Danke für Deine anschauliche Antwort.
Ich habe immer noch nicht den gedanklichen Schritt von solchen einfachen Funktionen, die man beim Falten übereinander (bzw. die eine unter der anderen durch) schiebt, und dem Übereinanderschieben von - sagen wir - in vielen Streifen f(x)dx hinbekommen.
Wenn ich das mathematisch definierte Faltungsintegral anschaue, wie es bei wikipedia angegeben ist, dann weiß ich nicht,
welche Grenzen ich für die Integrationsvariable t setzen muss, wo die Stelle x liegt und in welchem Intervall das Ergebnis der Integration: (f*g)(x) liegt - in Beziehung zur Funktion f: f(x).
Könntest Du mir vielleicht bei einer solchen Rechnung ein wenig helfen?
Willkürliches Beispiel:
f(x) = -cosx + 1 ; -pi < = x < = +pi
g(x) = x - welchen Def-Bereich sollte ich nehmen?
Ist der Definitionsbereich der Fkt. f zugleich das Integrationsintervall
t1 = -pi , t2 = +pi ?
Gruß aha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
bei Wikipedia, und auch sonst wo, findet man -Unendlich und +Unendlich als Grenzen, was aber nicht sehr viel weiterhilft, wenn es auch nicht verkehrt ist.
Gucken wir noch mal in die Beschreibung, zum Beispiel mit den variablen x und u, - ich lasse bewusst erst mal die Grenzen weg, um dann auf Dein Beispiel eingehen zu können -, dann hat man
[mm] y(x) = \int g(u) f(x-u) \, du [/mm]
Wären beide Funktionen in ihrem Definitionsbereich unbegrenzt, so würden die Unendlichkeitsgrenzen stimmen. Bei Dir ist aber nun f(x) begrenzt, g(x) nicht.
Das Integral liefert nur dann einen Beitrag, wenn sich, wenigstens teilweise, beide Funktionen überlappen. Das siehst Du ja auch recht schön, an dem Beispiel auf der Wikipedia-Seite.
Wie würde man nun vorgehen?
f(x) wird in der Variablen u geschrieben und gespiegelt. Durch die Symmetrie um den Nullpunkt herum, bleiben die Grenzen bei -Pi und +Pi und nur in diesem Bereich liefert das Integral einen Wert.
Dann muss man alle x-Werte durchlaufen lassen. Ich fange gewohnheitsmäßig bei x = 0 an und so hätte man
[mm] y(0) = \int_{u=-\pi}^{\pi} u \cdot (-\cos u +1) \, du [/mm]
Verschiebst Du jetzt x in positive Werte hinein, so verschieben sich die Grenzen mit, für z.B. x = 0,5 steht dann da
[mm] y(0,5) = \int_{u=-\pi+0,5}^{\pi+0,5} u \cdot (-\cos(0,5-u)-1) \, du [/mm]
So kann man das Faltungsintegral für alle Werte von x bestimmen, für negative x verschiebt man entsprechend die gespiegelte Version von f(u) nach links auf der u-Achse.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Fr 01.06.2012 | | Autor: | aha |
Hallo, ich danke für die weiteren Hinweise zu meinem Faltungsproblem...
Nun haben mir schon zwei freundliche Helfer aus dem MatheRaum versucht,meinen Unverstand zu beheben - dafür meinen herzlichen Dank!
Mein Frage-Text hier wird jetzt etwas länger, um meine noch bestehenden Probleme deutlich zu machen.
Erstmal zu dem sehr schönen augenfälligen Beispiel mit dem Strahlenbündel und dem Kollimator-Spalt von ChrisNo:
Ich habe mit diesem Modell "gebastelt" und verschiedene Profile zusammen gefaltet...
Hoffentlich habe ich es aber wirklich richtig verstanden, denn später fand ich keine Entsprechung zwischen den geometrisch-numerischen Lösungen und dem Integral - - -
Also:
1. ein Parallel-Strahlenbündel S bestimmter Breite b mit gleicher Intensität über die ganze Breite b;
und ein Parallelschlitz-Kollimator P mit der Breite k mit voller Durchlässigkeit =1.
Der Lichtstrom L ist dabei von der Breite b abhängig und es gilt [mm] \Delta [/mm] L [mm] \sim \Delta [/mm] b.
Wenn K von links an S herangeschoben wird, beginnt Strahlung in P einzufallen, sobald der rechte Rand von P über den linken Rand von S geschoben wird. Der von P erfasste Anteil des gesamten Lichtstroms ist proportional zu dem Überdeckungsbereich und nimmt solange linear zu, bis P voll im Licht steht oder die gesamte Strahlung in den Kollimator fällt.
Sind P und S gleich breit, also b = k, dann kann man hinter P eine dreieckige Verteilung des Lichtstroms messen, die doppelt so breit ist wie S oder P.
Ist es richtig verstanden, dass dabei die überdeckten geometrischen Flächen den jeweiligen Werten der Faltung entsprechen?
2. Ich habe vor diesem "Verständnishintergrund" andere Profile von S und P ausprobiert. U.a. folgende:
- Die Durchlässigkeit von P (Breite 1 LE) nimmt von links (=0) nach rechts (=1) linear zu nach der Funktionsgleichung g(x) = x; [0;1], außerhalb null;
- Die Intensität von S (Breite auch 1 LE) nimmt ebenfalls von links nach rechts nach der Gl. f(x) = x; [0;1], außerh. null, zu.
Ich falte also f(x)=x mit g(x)=x über dem Intervall [0;1] -
ist das richtig?
Beide habe ich in 10 Streifen der Breite [mm] \Delta [/mm] x eingeteilt und den Streifenhöhen die Mittelwerte der Streifenränder zugeordnet.
Für alle übereinanderligenden Streifenpaare von f und g habe ich die Produkte gebildet und diese Produkte bei jeder Lage addiert, um den Funktionswert der Faltung für die betreffende Lage zu erhalten.
Als Ergebnis erhielt ich eine spitzhütige Veteilung der Breite 2 LE, die Flanken konnte ich als Abschnitte kubischer Parabeln reproduzieren.
Um Eure Geduld nicht zu sehr zu strapazieren, will ich das Verfahren mit je 4 Streifen von je 0,25 LE vorführen:
Verteilung von g: 4 Streifen: I; II; III; IV. - Verteilung von f: 4 Str.: a; b; c; d.
Für F = g*f ergeben sich dann folgende Funktionswerte für die linke Hälfte und die rechte Hälfte der Faltung:
F(0) = 0
F(0,25) = 0,0273 = a*IV
F(0,50) = 0,1016 = a*III + b*IV
F(0,75) = 0,2070 = a*II + b*III + c*IV
F(1) = 0,3281 = a*I + b*II + c*III + d*IV
F(1,25) = 0,2070 = b*I + c*II + d*III
F(1,50) = 0,1016 = c*I + d*II
F(1,75) = 0,0273 = d*I
F(2) = 0
Den Graph dieser Wertefolge würde ich Euch jetzt gerne zeigen; aber ich weiß nicht, wie ich die JPG-Datei einbinden könnte. Habs versucht, aber es hat nicht geklappt.
Die linke (und spiegelbildlich die rechte) Parabelflanke gehorcht fast genau der Fkt.gl. y= -0,166x³ + 0,498x² - 0,004x.
3. Nun hätte ich gerne diese Faltung auch als Faltungsintegral berechnet:
F(x) = (f*g)(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(t)*g(x-t) dt} [/mm] , wobei ich mir über die Integrationsgrenzen gar nicht klar bin, zumal hier ja nur ein begrenzter Bereich vorliegt.
Ebenso weiß ich mit dem x im Argument von g nichts anzufangen -
ich folge einfach jetzt der Anregung von "infinit" und setze für a =0+x und für b=1+x.
Für f(t) setze ich t, und für g(t) setze ich auch t; für g(x-t) setze ich x-t.
Warum statt g(t) mit g(-t) bzw. mit g(x-t) gerechnet werden muss, ist mir auch nicht klar, ich ahne nur, dass es damit zu tun hat, dass wie bei der Hand-Methode schmale dx-Streifen der einen Fkt. von links mit solchen der anderen Fkt. von rechts verknüpft werden müssen...?
Mein Integral lautet jetzt also:
F(x) = (f*g)(x) = [mm] \integral_{0+x}^{1+x}{t*(x-t) dt}
[/mm]
mit dem für mich erstaunlichen und enttäuschenden Ergebnis
F(x) = -1/2x - 1/3 !!!. Weil sich die höheren Glieder bei der Ausrechnung alle herausheben...
Ich sehe bei diesem Ergebnis so gar keinen Zusammenhang mit der vorher durchgeführten numerischen Operation!
WAS MACHE ICH DA ODER WIE DENKE ICH DA FALSCH?
Sollte ich mir ein Buch besorgen, etwa mit dem Titel
"Elementare Einführung in die Faltung und ihr Integral für naive ältere Freunde der Mathematik"?
Ich wäre sehr froh, wenn ich auf weitere Hilfen von Euch rechnen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
aha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
meine Denkanstöße habe ich als Antwort auf Deine untenstehende Frage geschrieben. Bitte arbeite mit diesem weiter unten stehenden Thread weiter, sonst wird die Sache arg unübersichtlich.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
Bsp.: Die Verteilung der Summe zweier Zufallsvariablen
$P(X+Y=k)=???$
Lösung:
angenommen Y wäre y, dann:
$P(X+Y=k\ |\ Y=y)=P(X+y=k\ |\ Y=y) = P(X+y=k)=P(X=k-y)$
Nun gilt mit dem Satz von der Totalen Wahrscheinlichkeit (der Formalisierung der Baumdiagramme)
[mm] $P(X+Y=k)=\sum_y [/mm] P(X+Y=k\ | Y=y)*P(Y=y)$
also
[mm] $P(X+Y=k)=\sum_y [/mm] P(X=k-y)*P(Y=y)$
Sind die Zufallsvariablen jetzt stetig (z.B. [mm] $\IR$-wertig) [/mm] statt diskret (z.B. [mm] $\IZ$-wertig), [/mm] dann haben wir Dichten statt Wahrscheinlichkeiten und Integrale statt Summen, d.h.
[mm] $f_{X+Y}(k)=\int_\IR f_X(k-y)*f_Y(y)\ [/mm] dy$
Die Faltung taucht auf, wo wie hier sämtliche Kombinationen gesucht werden (d.h. X+Y=k, wenn Y=0 ist und X=k, oder Y=1 und X=k-1, oder Y=2 und...).
Sie hat auch die schicken Eigenschaften, daß sie das Produkt von Integralen beschreibt (vergleiche die Cauchy-Formel für Summen)
[mm] $\int f\* [/mm] g\ [mm] d\lambda [/mm] = [mm] \left(\int f\ d\lambda\right) *\left( \int g\ d\lambda\right)$
[/mm]
das heißt auch, daß für Fourier-Transformationen gilt
[mm] $\widehat{f\* g} [/mm] = [mm] \hat [/mm] f * [mm] \hat [/mm] g$ (bis auf normierende Konstante --- [mm] $\hat [/mm] f$ ist die Fourier-Transformierte von f, etc.)
d.h. wenn ich das Frequenzspektrum von einer Funktion betrachte und das mit einem anderen Spektrum z.B. glätte [mm] ($\hat [/mm] g$ könnte nur um die 0 Masse haben und dann schnell abfallen. Das würde die höheren Frequenzen entfernen), dann entspricht das der Faltung der beiden Ursprungsfunktionen.
Das man glättet sieht man auch an
$ [mm] \frac{d}{dx}(f \* [/mm] g) = [mm] \frac{df}{dx} \* [/mm] g = f [mm] \* \frac{dg}{dx}$
[/mm]
Das wird in der Distributionentheorie verwendet, um eine verallgemeinerte Form der Ableitung zu bestimmen.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:07 Mi 23.05.2012 | | Autor: | aha |
> Hi,
>
> Bsp.: Die Verteilung der Summe zweier Zufallsvariablen
>
> [mm]P(X+Y=k)=???[/mm]
>
> Lösung:
> angenommen Y wäre y, dann:
> [mm]P(X+Y=k\ |\ Y=y)=P(X+y=k\ |\ Y=y) = P(X+y=k)=P(X=k-y)[/mm]
>
> Nun gilt mit dem Satz von der Totalen Wahrscheinlichkeit
> (der Formalisierung der Baumdiagramme)
>
> [mm]P(X+Y=k)=\sum_y P(X+Y=k\ | Y=y)*P(Y=y)[/mm]
>
> also
>
> [mm]P(X+Y=k)=\sum_y P(X=k-y)*P(Y=y)[/mm]
>
>
>
> Sind die Zufallsvariablen jetzt stetig (z.B. [mm]\IR[/mm]-wertig)
> statt diskret (z.B. [mm]\IZ[/mm]-wertig), dann haben wir Dichten
> statt Wahrscheinlichkeiten und Integrale statt Summen,
> d.h.
>
> [mm]f_{X+Y}(k)=\int_\IR f_X(k-y)*f_Y(y)\ dy[/mm]
>
>
>
>
>
> Die Faltung taucht auf, wo wie hier sämtliche
> Kombinationen gesucht werden (d.h. X+Y=k, wenn Y=0 ist und
> X=k, oder Y=1 und X=k-1, oder Y=2 und...).
> Sie hat auch die schicken Eigenschaften, daß sie das
> Produkt von Integralen beschreibt (vergleiche die
> Cauchy-Formel für Summen)
>
> [mm]\int f\* g\ d\lambda = \left(\int f\ d\lambda\right) *\left( \int g\ d\lambda\right)[/mm]
>
>
>
> das heißt auch, daß für Fourier-Transformationen gilt
>
> [mm]\widehat{f\* g} = \hat f * \hat g[/mm] (bis auf normierende
> Konstante --- [mm]\hat f[/mm] ist die Fourier-Transformierte von f,
> etc.)
>
> d.h. wenn ich das Frequenzspektrum von einer Funktion
> betrachte und das mit einem anderen Spektrum z.B. glätte
> ([mm]\hat g[/mm] könnte nur um die 0 Masse haben und dann schnell
> abfallen. Das würde die höheren Frequenzen entfernen),
> dann entspricht das der Faltung der beiden
> Ursprungsfunktionen.
>
>
>
>
> Das man glättet sieht man auch an
> [mm]\frac{d}{dx}(f \* g) = \frac{df}{dx} \* g = f \* \frac{dg}{dx}[/mm]
>
> Das wird in der Distributionentheorie verwendet, um eine
> verallgemeinerte Form der Ableitung zu bestimmen.
>
>
> ciao
> Stefan
>
Hallo Stefan,
verzeih, dass ich Deiner Ausführung im Moment noch nicht folgen kann - ich stehe überhaupt nicht mehr so im Stoff wie Du.
Faltung war in meiner Studienzeit ein Randthema, aber nicht meins.
Ich möchte den Begriff mit GANZ EINFACHEN BEISPIELEN überhaupt erst mal richtig erfassen; mir ist natürlich klar, dass die wirklich mathematisch interessanten Fragen erst jenseits meiner Anfgangskenntnisse beginnen!
Ich habe großes Interesse daran, wie die Aufgabenstellung meines vorigen Posts als Faltung zu formulieren ist.
Grruß aha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 25.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Fr 25.05.2012 | | Autor: | aha |
Hallo,
mit den Angaben zur Limitierung der Zeit bin ich als Neuling noch nicht richtig vertraut.
Ich bin nicht auf schnelle Antworten angewiesen, weil bei mir kein Zwang oder Zeitdruck dahinter steht.
ChrisNo hat sich aber weiter mit meinem Problem beschäftigt, und ich habe eben eine Antwort abgeschickt.
Dazu aber eine Frage:
Es heißt doch, nach dem Senden wird man zum Hochladen aufgefordert...
Oder geschieht das Hochladen bereits mit dem Senden?
Gruß aha
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 26.05.2012 | | Autor: | aha |
Muss man bei jeder Frage, die man stellt, ein Bearbeitungszeit-Limit eingeben?
Manchmal dauert es ein paar Tage, auch länger, ehe ich mich wieder mit dem Thema beschäftige und in MatheRaum komme.
Das bedeutet aber nicht, dass ich an weiterer Diskussion kein Interesse mehr hätte.
Gruß aha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Sa 26.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Du kannst das Limit immer so groß setzen, wie es Dir passt. Solange das Limit nicht erreicht ist, findet man Deine Frage unter den nicht beantworteten Fragen. Es gibt hier mehrere, die diese Liste öfters mal durchgehen und dann eventuell antworten. Sobald das Limit erreicht ist, schlägt "Matux" zu. Der wirft sie aus der Liste. Dann kannst Du eine Frage nachschieben, um auch auf die ursprüngliche Frage aufmerksam zu machen.
Folgerung: Es gibt Frager, die brauchen eine Antwort innerhalb eines Tages, weil dann zum Beispiel ein Referat fällig ist. Die setzen das Zeitlimit entsprechend, weil eine spätere Antwort ihnen nichts mehr bringt. Bei Deinem Vorhaben kannst Du also immer das Maximum wählen.
Für die eigentliche Frage habe ich im Moment nicht genug Zeit. Ganz knapp:
Die eine Funktion, zum Beispiel das Strahlprofil, steht einfach so unter dem Integral: f(x).
Die andere Funktion wird durch das Integrieren über f(x) geschoben, darum steht sie dann als g(x-t) da. Das t gibt gerade die Verschiebung an. Durch die Integration über t werden alle möglichen relativen Positionen der beiden Funktionen erfasst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Fr 01.06.2012 | | Autor: | aha |
Hallo, ich danke für die weiteren Hinweise zu meinem Faltungsproblem...
Nun haben mir schon zwei freundliche Helfer aus dem MatheRaum versucht,meinen Unverstand zu beheben - dafür meinen herzlichen Dank!
Mein Frage-Text hier wird jetzt etwas länger, um meine noch bestehenden Probleme deutlich zu machen.
Erstmal zu dem sehr schönen augenfälligen Beispiel mit dem Strahlenbündel und dem Kollimator-Spalt von ChrisNo:
Ich habe mit diesem Modell "gebastelt" und verschiedene Profile zusammen gefaltet...
Hoffentlich habe ich es aber wirklich richtig verstanden, denn später fand ich keine Entsprechung zwischen den geometrisch-numerischen Lösungen und dem Integral - - -
Also:
1. ein Parallel-Strahlenbündel S bestimmter Breite b mit gleicher Intensität über die ganze Breite b;
und ein Parallelschlitz-Kollimator P mit der Breite k mit voller Durchlässigkeit =1.
Der Lichtstrom L ist dabei von der Breite b abhängig und es gilt [mm] \Delta [/mm] L [mm] \sim \Delta [/mm] b.
Wenn K von links an S herangeschoben wird, beginnt Strahlung in P einzufallen, sobald der rechte Rand von P über den linken Rand von S geschoben wird. Der von P erfasste Anteil des gesamten Lichtstroms ist proportional zu dem Überdeckungsbereich und nimmt solange linear zu, bis P voll im Licht steht oder die gesamte Strahlung in den Kollimator fällt.
Sind P und S gleich breit, also b = k, dann kann man hinter P eine dreieckige Verteilung des Lichtstroms messen, die doppelt so breit ist wie S oder P.
Ist es richtig verstanden, dass dabei die überdeckten geometrischen Flächen den jeweiligen Werten der Faltung entsprechen?
2. Ich habe vor diesem "Verständnishintergrund" andere Profile von S und P ausprobiert. U.a. folgende:
- Die Durchlässigkeit von P (Breite 1 LE) nimmt von links (=0) nach rechts (=1) linear zu nach der Funktionsgleichung g(x) = x; [0;1], außerhalb null;
- Die Intensität von S (Breite auch 1 LE) nimmt ebenfalls von links nach rechts nach der Gl. f(x) = x; [0;1], außerh. null, zu.
Ich falte also f(x)=x mit g(x)=x über dem Intervall [0;1] -
ist das richtig?
Beide habe ich in 10 Streifen der Breite [mm] \Delta [/mm] x eingeteilt und den Streifenhöhen die Mittelwerte der Streifenränder zugeordnet.
Für alle übereinanderligenden Streifenpaare von f und g habe ich die Produkte gebildet und diese Produkte bei jeder Lage addiert, um den Funktionswert der Faltung für die betreffende Lage zu erhalten.
Als Ergebnis erhielt ich eine spitzhütige Veteilung der Breite 2 LE, die Flanken konnte ich als Abschnitte kubischer Parabeln reproduzieren.
Um Eure Geduld nicht zu sehr zu strapazieren, will ich das Verfahren mit je 4 Streifen von je 0,25 LE vorführen:
Verteilung von g: 4 Streifen: I; II; III; IV. - Verteilung von f: 4 Str.: a; b; c; d.
Für F = g*f ergeben sich dann folgende Funktionswerte für die linke Hälfte und die rechte Hälfte der Faltung:
F(0) = 0
F(0,25) = 0,0273 = a*IV
F(0,50) = 0,1016 = a*III + b*IV
F(0,75) = 0,2070 = a*II + b*III + c*IV
F(1) = 0,3281 = a*I + b*II + c*III + d*IV
F(1,25) = 0,2070 = b*I + c*II + d*III
F(1,50) = 0,1016 = c*I + d*II
F(1,75) = 0,0273 = d*I
F(2) = 0
Den Graph dieser Wertefolge würde ich Euch jetzt gerne zeigen; aber ich weiß nicht, wie ich die JPG-Datei einbinden könnte. Habs versucht, aber es hat nicht geklappt.
Die linke (und spiegelbildlich die rechte) Parabelflanke gehorcht fast genau der Fkt.gl. y= -0,166x³ + 0,498x² - 0,004x.
3. Nun hätte ich gerne diese Faltung auch als Faltungsintegral berechnet:
F(x) = (f*g)(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(t)*g(x-t) dt} [/mm] , wobei ich mir über die Integrationsgrenzen gar nicht klar bin, zumal hier ja nur ein begrenzter Bereich vorliegt.
Ebenso weiß ich mit dem x im Argument von g nichts anzufangen -
ich folge einfach jetzt der Anregung von "infinit" und setze für a =0+x und für b=1+x.
Für f(t) setze ich t, und für g(t) setze ich auch t; für g(x-t) setze ich x-t.
Warum statt g(t) mit g(-t) bzw. mit g(x-t) gerechnet werden muss, ist mir auch nicht klar, ich ahne nur, dass es damit zu tun hat, dass wie bei der Hand-Methode schmale dx-Streifen der einen Fkt. von links mit solchen der anderen Fkt. von rechts verknüpft werden müssen...?
So habe ich ChrisNo's letzte Antwort verstanden - nur wie der Integrationsmechnismus genau abläuft, ist mir eben nicht klar...
Mein Integral lautet jetzt also:
F(x) = (f*g)(x) = [mm] \integral_{0+x}^{1+x}{t*(x-t) dt}
[/mm]
mit dem für mich erstaunlichen und enttäuschenden Ergebnis
F(x) = -1/2x - 1/3 !!!. Weil sich die höheren Glieder bei der Ausrechnung alle herausheben...
Ich sehe bei diesem Ergebnis so gar keinen Zusammenhang mit der vorher durchgeführten numerischen Operation!
WAS MACHE ICH DA ODER WIE DENKE ICH DA FALSCH?
Sollte ich mir ein Buch besorgen, etwa mit dem Titel
"Elementare Einführung in die Faltung und ihr Integral für naive ältere Freunde der Mathematik"?
Ich wäre sehr froh, wenn ich auf weitere Hilfen von Euch rechnen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
aha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
das Faltungsintegral ist von den Integranden her in Ordnung, die Integralgrenzen jedoch nicht.
Beide Funktion sind zwischen 0 und 1 nur definiert, beide wachsen linear mit x, es muss also etwas mit kubischer Form rauskommen nach dem Integrieren. Der Bereich, innerhalb dessen das Faltungsintegral von 0 verschieden ist, ist 2 Einheiten breit.
Zunächst einmal spiegeln wir eine der beiden linearen Funktionen, diese liegt demzufolge nun zwischen den t-Werten von -1 und 0 mit einer fallenden Flanke.
Jetzt sind zwei Fälle zu unterscheiden.
Fall 1) Einmal schieben wir die -t-Funktion unter der t-Funktion durch. Für x-Werte zwischen 0 und 1 schiebt sich eine fallende Flanke über eine ansteigende Flanke. Das Integral liefert nur da Werte, wo sich beide Funktionen überlappen. Die untere Grenze ist demzufolge bei t = 0, die obere bei t=x.
Damit bekommt man
[mm] F(x) = \int_0^x t \cdot (x-t) \, dt = \int_0^x (tx-t^2) \, dt = \bruch{t^2}{2} x - \bruch{t^3}{3} |_0^x = \bruch{x^3}{2} - \bruch{x^3}{3} [/mm]
Dann wandert die fallende Flanke aus dem Gebiet der steigenden wieder raus. Die rechte Begrenzung der fallenden Flanke liegt weiterhin bei x, die linke demzufolge, wegen der Breite von 1, bei x-1. Die steigende Flanke ist jedoch nur definiert für Werte zwischen 0 und 1. Preisfrage: Wie lauten jetzt die Grenzen des Faltungsintegrals?
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 So 03.06.2012 | | Autor: | aha |
Guten Morgen Infinit, und herzlichen Dank!
1.Frage - Integrationsgrenzen:
dass man von t=0 bis t=1 integrieren muss im ersten Schritt, ist mir kurz nach dem Absetzen meines "Hilferufs" ebenfalls in den Sinn gekommen mit dem Ergebnis F(x) = 1/6 x³. da habe ich mich natürlich über Deine Mitteilung sehr gefreut!
Aber mit den Grenzen für den zweiten Teil komme ich nicht zurecht!
- plausibel wäre für mich mehreres:
- (a) Wenn der rechte Rand von g(x-t) weiter bei x liegt und die Überlappung 1 Einheit weiter links beginnt, dann müsste ich [mm] \integral_{x-1}^{x}{f(t)*g(x-t) dt} [/mm] =x/2-x/3 bilden;
- (b) Wenn nur bis t=1 integriert werden darf, weil f(t) nur bis t=1 def. ist, müsste integriert werden: [mm] \integral_{x-1}^{1}{f(t)*g(x-t) dt} [/mm] = -X³/6+x-2/3 ;
- (c) Da die Faltung sich von 0 bis 2 erstreckt, wäre auch plausibel:
[mm] \integral_{x-1}^{2}{f(t)*g(x-t) dt} [/mm] = -x³/6+5/3x+7/3:
- (d) Da ich aber annehme, dass die rechte Flanke der Faltung symmetrisch zur linken Flanke ist, müsste ich an x=1 spiegeln, d.h. erst spiegeln und dann um +2 nach rechts verschieben:
Aus F(x) = 1/6x³ [mm] \to [/mm] F(x)* = 1/6(-x+2)³ = -x³/6+x²-x+4/3;
Aber dieses Ergebnis finde ich bei keiner meiner Annahmen...
Ist die Faltungskurve überhaupt symmetrisch?
In meiner praktischen streifenweisen Berechnung war sie es.
Für die linke Flanke ergibt sich bei einer Näherung mit je 10 Streifen [mm] \Delta [/mm] x = 0,1 eine empirische Kurve y = -0,166x³+0,5008x²-0,001x mit F(1)=0,3325.
Die große Abweichung gegenüber dem Integral: F(x) = 1/6x³ ist mir rätselhaft.
Aber dazu meine
2.Fage
- (a)
Um das Faltungsintegral an der Stelle x zu bilden, wird g gespiegelt g(t) [mm] \to [/mm] g(-t) und dann an die Stelle x geschoben: g(-t) [mm] \to [/mm] g(-t+x)
- (b)
Wenn ich aber den physikalischen Vorgang hernehme, dann wird doch g ungespiegelt über f hinwegbewegt!
g verkörpert den Graukeil, das Filter der Breite 1 mit der relativen Durchlässigkeit =1 am rechten Rand, =0 am linken Rand, und dazwischen von links nach rechts linear wachsend - das entspricht genau g(x) = x ;[0;1]
f verkörpert das Parallelstrahl-Bündel, ebenfalls der Breite 1 und mit der Intensitätsverteilung von links =0, linear wachsend bis rechts =1.
Sie gehorcht also exakt der Gleichung f(x) = x ; [0;1]
Wenn ich nun das Filter von links her über das Bündel hinwegbewege, dann kann ich bei jeder Filterstellung x den Lichtstrom messen, der aus der gesamten Filterfläche herauskommt.
Sind diese Werte nicht die Werte der Faltung, also F(x) ?
Wenn ich das nicht kontinuierlich ausführe, sondern in 10 Bewegungsschritte von [mm] \Delta [/mm] x = 0,1 unterteile, für die ich jedesmal die Summe aller Produkte "Durchlässigkeit mal Intensität" bilde,
dann sollte ich doch recht gute Näherungen der Funktionswerte F(x) der Faltung bekommen???
Oder ist das, was ich da mache, gar keine Faltung in dem Sinne des Integrals?
Wieso schiebe ich praktisch g(x) über f(x),
beim Integrieren aber g(-x) über f(x) ?
Du siehst, ich habe immer noch begriffliche Schwierigkeiten...
Auch das schöne Bewegungsbils in wikipedia hilft mir hier nicht weiter.
Mit freundlichen Grüßen
aha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 So 03.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha und einen schönen Sonntag,
bevor wir hier weitermachen, sollten wir erst mal klären, was Du überhaupt ausrechnen willst. Ich befürchte, das ist uns allen noch nicht so klar.
Ich gehe auf Deine Fragen etc. in Deinem Thread ein, den ich hier reinkopiere. Dann steht hoffentlich alles gleich an der richtigen Stelle.
Viele Grüße,
Infinit
> Guten Morgen Infinit, und herzlichen Dank!
>
> 1.Frage - Integrationsgrenzen:
> dass man von t=0 bis t=1 integrieren muss im ersten
> Schritt, ist mir kurz nach dem Absetzen meines "Hilferufs"
> ebenfalls in den Sinn gekommen mit dem Ergebnis F(x) = 1/6
> x³. da habe ich mich natürlich über Deine Mitteilung
> sehr gefreut!
>
> Aber mit den Grenzen für den zweiten Teil komme ich nicht
> zurecht!
> - plausibel wäre für mich mehreres:
>
> - (a) Wenn der rechte Rand von g(x-t) weiter bei x liegt
> und die Überlappung 1 Einheit weiter links beginnt, dann
> müsste ich [mm]\integral_{x-1}^{x}{f(t)*g(x-t) dt}[/mm] =x/2-x/3
> bilden;
>
> - (b) Wenn nur bis t=1 integriert werden darf, weil f(t)
> nur bis t=1 def. ist, müsste integriert werden:
> [mm]\integral_{x-1}^{1}{f(t)*g(x-t) dt}[/mm] = -X³/6+x-2/3 ;
>
Genau das hätte ich jetzt auch gesagt. Was Dein Ergebnis aussagen soll, weiss ich jedoch beim besten Willen nicht, da Du nie einen analytischen Ausdruck für die Funktionen hinschreibst. Eine untere Grenze von (x-1) in das Ergebnis eingesetzt, muss doch irgendwo zu einem Term [mm] (x-1)^3 [/mm] führen, den sehe ich jedoch nirgends.
> - (c) Da die Faltung sich von 0 bis 2 erstreckt, wäre
> auch plausibel:
> [mm]\integral_{x-1}^{2}{f(t)*g(x-t) dt}[/mm] = -x³/6+5/3x+7/3:
>
Das kann man auch so schreiben, aber f(t) hört doch bereits bei 1 auf und Du würdest hier munter weiterintegrieren. Das entspricht nicht der Aufgabenstellung.
> - (d) Da ich aber annehme, dass die rechte Flanke der
> Faltung symmetrisch zur linken Flanke ist, müsste ich an
> x=1 spiegeln, d.h. erst spiegeln und dann um +2 nach rechts
> verschieben:
> Aus F(x) = 1/6x³ [mm]\to[/mm] F(x)* = 1/6(-x+2)³ =
> -x³/6+x²-x+4/3;
> Aber dieses Ergebnis finde ich bei keiner meiner
> Annahmen...
>
Du kommst hier immer wieder mit dem Verschiebungswert x und der Integrationsvariablen t durcheinander. Du spiegelst eine Funktion an der y-Achse, wenn Du diese dann um zwei Einheiten nach rechts verschiebst, überlappt sich nichts mehr, das Integral wird zu Null.
> Ist die Faltungskurve überhaupt symmetrisch?
>
Das muss nicht generell gelten, in diesem Fall würde es aber stimmen, da beide Funktionen spiegelsymmetrisch zueinander sind.
> In meiner praktischen streifenweisen Berechnung war sie
> es.
> Für die linke Flanke ergibt sich bei einer Näherung mit
> je 10 Streifen [mm]\Delta[/mm] x = 0,1 eine empirische Kurve y =
> -0,166x³+0,5008x²-0,001x mit F(1)=0,3325.
>
> Die große Abweichung gegenüber dem Integral: F(x) =
> 1/6x³ ist mir rätselhaft.
> Aber dazu meine
>
> 2.Fage
> - (a)
> Um das Faltungsintegral an der Stelle x zu bilden, wird g
> gespiegelt g(t) [mm]\to[/mm] g(-t) und dann an die Stelle x
> geschoben: g(-t) [mm]\to[/mm] g(-t+x)
>
> - (b)
> Wenn ich aber den physikalischen Vorgang hernehme, dann
> wird doch g ungespiegelt über f hinwegbewegt!
>
> g verkörpert den Graukeil, das Filter der Breite 1 mit der
> relativen Durchlässigkeit =1 am rechten Rand, =0 am linken
> Rand, und dazwischen von links nach rechts linear wachsend
> - das entspricht genau g(x) = x ;[0;1]
>
> f verkörpert das Parallelstrahl-Bündel, ebenfalls der
> Breite 1 und mit der Intensitätsverteilung von links =0,
> linear wachsend bis rechts =1.
> Sie gehorcht also exakt der Gleichung f(x) = x ; [0;1]
>
> Wenn ich nun das Filter von links her über das Bündel
> hinwegbewege, dann kann ich bei jeder Filterstellung x den
> Lichtstrom messen, der aus der gesamten Filterfläche
> herauskommt.
> Sind diese Werte nicht die Werte der Faltung, also F(x) ?
>
> Wenn ich das nicht kontinuierlich ausführe, sondern in 10
> Bewegungsschritte von [mm]\Delta[/mm] x = 0,1 unterteile, für die
> ich jedesmal die Summe aller Produkte "Durchlässigkeit mal
> Intensität" bilde,
> dann sollte ich doch recht gute Näherungen der
> Funktionswerte F(x) der Faltung bekommen???
>
Achtung, Achtung, dies hat nichts mit einer Faltung zweier analytischer Funktionen zu tun, und hier liegt wahrscheinlich der Hase im Pfeffer. Du multiplizierst hier für verschiedene Werte von x die beiden Funktionen miteinander, die aber beide so aussehen, wie die blaue Kurve im unteren Bildchen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Oder ist das, was ich da mache, gar keine Faltung in dem
> Sinne des Integrals?
Richtig, das ist keine Faltung im Sinne eines Faltungsintegrals, es gibt allerdings einen anderen Ausdruck hierfür aus der Statistik, es handelt sich um die Kreuzkorrelierte zweier Funktionen, die allerdings gleich aussehen. Bei der Faltung würdest Du die rote Kurve über die blaue schieben und für jeden Verschiebungswert von x die Faltung berechnen. Für Deine Aufgabe sind zwar auch Integrale in Abhängigkeit eines Verschiebungswertes zu bestimmen, beide Funktionen sehen aber wie die blaue Funktion aus. Das ist der kleine, aber feine Unterschied. Die Überlegungen zu den Grenzen gelten zwar weiterhin, einer der Integranden ist aber anders.
>
> Wieso schiebe ich praktisch g(x) über f(x),
> beim Integrieren aber g(-x) über f(x) ?
>
> Du siehst, ich habe immer noch begriffliche
> Schwierigkeiten...
> Auch das schöne Bewegungsbils in wikipedia hilft mir hier
> nicht weiter.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> aha
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mo 04.06.2012 | | Autor: | aha |
Hallo Infinit und Guten Morgen,
danke, dass Du mir da begrifflich so weitergeholfen und Irrtümer ausgeräumt hast!
Unterscheidung von "Faltung" und "Kreuzkorrelierter" zweier Funktionen. Ok
Ein großes Begriffsproblem damit gelöst.
Ich folge jetzt Deinen eingeblendeten Anmerkungen:
1. Was ich eigentlich ausrechnen will:
Mir ging und geht es darum, den mathematischen Begriff der Faltung nicht nur als formale Definition (siehe Faltungsintegral) sondern als sinnvolle Operation zu verstehen. Also: was steckt begrifflich dahinter?
Darum habeich mir ein möglichst einfaches UNSYMMETRISCHES Beispiel genommmen - allerdings gegen die eigentliche Definition auf einem begrenzten Intervall, was die Sache wieder kompliziert macht.
2. Die Frage der Integrationsgrenzen in meinem Beispiel:
Ich möchte rekapitulieren wie ich das inzwischen verstanden habe und Dich bitten, das zu kontrollieren:
f(t) = t ist nur auf 0 [mm] $\le$ [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 definiert. Ebenso g/x-t) = x-t.
Im ersten Abschnitt ist für die Faltungsfunkt. F(x) das Integral also nur vom linken Rand von f (=0) bis zum rechten Rand von g zu nehmen,
und der rechte Rand von g wird durch die Koordinate x beschrieben, wobei
0 [mm] §\le$ [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
Würdest Du das so bestätigen?
Im zweiten Abschnitt liegt der linke Rand von g im Intervall [0;1], der rechte Rand schon außerhalb.
Deshalb ist das Integral rechts begrenzt durch f, also =1, in meinem Beispiel, und links eine Einheit links vom rechten Rand (=x) der Funkt. g, also x-1, daher [mm] \integral_{x-1}^{1}{f(t)g(x-t) dt}.
[/mm]
Ich glaube, das habe ich jetzt verstanden...
( Natürlich hatte ich bei der Berechnung Terme [mm] (x-1)^3 [/mm] und [mm] (x-1)^2, [/mm] ich hatte sie nur nicht unausgerechnet hingeschrieben .)
Allerdings ist die Faltungsfunktion F jetzt außerhalb des Intervalls [0;1] definiert - nämlich auf [1;2], denn weiter reicht g nicht, solange es eine Überlappung gibt.
Also ist F insgesamt auf [0;2] definiert, mit zwei Ästen:
[mm] F(x)=\begin{cases} 1/6 x^3, & \mbox{für } x \mbox{ aus[0;1]} \\ -1/6x^3+x- 2/3, & \mbox{für } x \mbox{ aus[1;2]} \end{cases}
[/mm]
Würdest Du das so bestätigen?
Nach meinem jetzigen Verständnis drückt die Variable x also zweierlei aus:
Erstens die Verschiebung der zu g(t) gespiegelten Funktion gegenüber der Ausgangslage g(-t); - daher g(x-t).
Zweitens die Lage der rechten, oberen Integrationsgrenze der Faltungsfunktion und damit deren x-Koordinate. - Ja?
Wenn ich oben richtig integriert habe, dann ist der Graph von F doch nicht symmetrisch, wie ich erst dachte (weil ich mich ja von der falschen Vorstellung bzgl. Faltung leiten ließ).
Aber bei x=1 habe beide den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung - siehe Bild - rot gezeichnet F(x) .(Ich hoffe, es klappt.)
[img] 1 [mm] [\img]
[/mm]
(Falls das Bild Einstellen nicht geklappt hat, bitte sage mir, wie ich das richtig formulieren muss - danke!)
3. Mein Irrtum:
Durch die Beispiele symmetrischer gefalteter Funktionen u.a. bei Wikipedia, auch die schöne Animation, bin ich auf eine ganz falsche Fährte gekommen
und hatte mich schon gefreut - - -
Zu dieser Kreuzkorrelation, wie Du sie genannt hast, vielleicht später.
Du hast mir da einen großen Widerspruch gelöst!
Könntest Du mir vielleicht eine anschauliche einfache praktische Anwendung für eine Faltung geben?
Ich weiß, dass Faltungen in der Signalverarbeitung eine große Rolle spielen, auch in der Statistik, sogar im der Hochwasservorhersage.
Aber welche praktische Problemstellung eigentlich dahinter steht, ist mir noch nicht klar.
Ich weiß jetzt (hoffentlich) nur, wie man rechnerisch mit dem Integral umgehen muss, aber der tiefere Sinn, warum, ist mir noch verschlossen.
Immerhin habe ich eine Definition für Diskrete Faltungen gefunden:
(f*g)(n) = [mm] \summe_{k=1}^{n}f(k)*g(n-k),
[/mm]
und daraus entnehme ich, wie man die einzelnen Glieder verknüpfen muss (also gegenläufig), ehe man sie bis n aufsummiert. So muss ich mir das im Integral wohl auch vorstellen?
Herzlichen Gruß
aha
[mm] $\le$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
ich schreibe meine Kommentare an die entsprechenden Stellen, dann steht gleich alles am richtigen Platz.
Viele Grüße,
Infinit
> Hallo Infinit und Guten Morgen,
>
> danke, dass Du mir da begrifflich so weitergeholfen und
> Irrtümer ausgeräumt hast!
> Unterscheidung von "Faltung" und "Kreuzkorrelierter"
> zweier Funktionen. Ok
> Ein großes Begriffsproblem damit gelöst.
>
> Ich folge jetzt Deinen eingeblendeten Anmerkungen:
>
> 1. Was ich eigentlich ausrechnen will:
> Mir ging und geht es darum, den mathematischen Begriff der
> Faltung nicht nur als formale Definition (siehe
> Faltungsintegral) sondern als sinnvolle Operation zu
> verstehen. Also: was steckt begrifflich dahinter?
>
Mathematisch betrachtet ist es nichts weiter als eine Vorschrift zur Bestimmung eines bestimmten Integrals. Anwendung findet es überall, wo man ein lineares System mit Ein- und Ausgang beschreibt und man das Ausgangssignal kennen möchte beim Anlegen eines bestimmten Eingangssignals. Die E-Technik ist dafür ein prominentes Beispiel, aber eigentlich ist es generell eine Rechentechnik der Systemtheorie.
> Darum habeich mir ein möglichst einfaches UNSYMMETRISCHES
> Beispiel genommmen - allerdings gegen die eigentliche
> Definition auf einem begrenzten Intervall, was die Sache
> wieder kompliziert macht.
>
>
> 2. Die Frage der Integrationsgrenzen in meinem Beispiel:
> Ich möchte rekapitulieren wie ich das inzwischen
> verstanden habe und Dich bitten, das zu kontrollieren:
>
> f(t) = t ist nur auf 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1 definiert. Ebenso
> g/x-t) = x-t.
> Im ersten Abschnitt ist für die Faltungsfunkt. F(x) das
> Integral also nur vom linken Rand von f (=0) bis zum
> rechten Rand von g zu nehmen,
> und der rechte Rand von g wird durch die Koordinate x
> beschrieben, wobei
> 0 [mm]§\le$[/mm] x [mm]\le[/mm] 1.
> Würdest Du das so bestätigen?
>
Genau, das stimmt.
> Im zweiten Abschnitt liegt der linke Rand von g im
> Intervall [0;1], der rechte Rand schon außerhalb.
> Deshalb ist das Integral rechts begrenzt durch f, also =1,
> in meinem Beispiel, und links eine Einheit links vom
> rechten Rand (=x) der Funkt. g, also x-1, daher
> [mm]\integral_{x-1}^{1}{f(t)g(x-t) dt}.[/mm]
> Ich glaube, das habe
> ich jetzt verstanden...
> ( Natürlich hatte ich bei der Berechnung Terme [mm](x-1)^3[/mm]
> und [mm](x-1)^2,[/mm] ich hatte sie nur nicht unausgerechnet
> hingeschrieben .)
>
Genau, das ist die Vorgehensweise.
> Allerdings ist die Faltungsfunktion F jetzt außerhalb des
> Intervalls [0;1] definiert - nämlich auf [1;2], denn
> weiter reicht g nicht, solange es eine Überlappung gibt.
> Also ist F insgesamt auf [0;2] definiert, mit zwei
> Ästen:
>
> [mm]F(x)=\begin{cases} 1/6 x^3, & \mbox{für } x \mbox{ aus[0;1]} \\
-1/6x^3+x- 2/3, & \mbox{für } x \mbox{ aus[1;2]} \end{cases}[/mm]
>
> Würdest Du das so bestätigen?
Für den ersten Teil ja, für den zweiten nicht und ich bin mir ziemlich sicher, dass da beim Einsetzen der Intergralgrenzen was schiefgelaufen ist. Ein kleiner Quercheck: Für x = 2 muss ja eine Null rauskommen, da sich nichts mehr überlappt, das macht es hier aber nicht.
Schauen wir mal:
[mm] \int_{t=x-1}^1 (xt - t^2) \, dt = (\bruch{t^2}{2} x - \bruch{t^3}{3}) \right||_{(x-1)}^1 = \bruch{x}{2} - \bruch{1}{3} - (x-1)^2 \bruch{x}{2} + \bruch{(x-1)^3}{3} [/mm]
Uff, jetzt kommt für x = 2 wirklich eine Null raus, und für x=1 1/6.
> Nach meinem jetzigen Verständnis drückt die Variable x
> also zweierlei aus:
> Erstens die Verschiebung der zu g(t) gespiegelten
> Funktion gegenüber der Ausgangslage g(-t); - daher
> g(x-t).
> Zweitens die Lage der rechten, oberen Integrationsgrenze
> der Faltungsfunktion und damit deren x-Koordinate. - Ja?
>
In Hinblick auf die Verschiebungscharakteristik hast Du recht, in Hinblick auf die Lage der Integrationsgrenze auch, wenn auch diese nicht unbedingt immer die rechte obere Grenze der gespiegelten Funktion sein muss. Angenommen, eine der Funktionen wäre eine zur y-Achse spiegelsymmetrische Dreiecksfunktion, deren Grenzen beispielsweise von - 2 bis +2 laufen, dann hat die gespiegelte Funktion g(-t) wieder diese Grenzen, für eine Verschiebung von x = 0. Hier liegt demzufolge der x-Referenzpunkt "auf der Dreiecksspitze". Dies hängt nur von der Lage der ursprünglichen Funktion im Koordinatensystem ab.
> Wenn ich oben richtig integriert habe, dann ist der Graph
> von F doch nicht symmetrisch, wie ich erst dachte (weil ich
> mich ja von der falschen Vorstellung bzgl. Faltung leiten
> ließ).
> Aber bei x=1 habe beide den gleichen Funktionswert und die
> gleiche Steigung - siehe Bild - rot gezeichnet F(x) .(Ich
> hoffe, es klappt.)
>
> [img]1 [mm][\img][/mm]
>
> (Falls das Bild Einstellen nicht geklappt hat, bitte sage mir, wie ich das richtig formulieren muss - danke!)
>
Bei diesem img-Befehl fehlt ein schließendes Argument,
mit
[img]attach:894185:1[/img]
sollte es klappen.
>
> 3. Mein Irrtum:
> Durch die Beispiele symmetrischer gefalteter Funktionen u.a. bei Wikipedia, auch die schöne Animation, bin ich auf eine ganz falsche Fährte gekommen
> und hatte mich schon gefreut - - -
> Zu dieser Kreuzkorrelation, wie Du sie genannt hast, vielleicht später.
> Du hast mir da einen großen Widerspruch gelöst!
>
> Könntest Du mir vielleicht eine anschauliche einfache praktische Anwendung für eine Faltung geben?
> Ich weiß, dass Faltungen in der Signalverarbeitung eine große Rolle spielen, auch in der Statistik, sogar im der Hochwasservorhersage.
> Aber welche praktische Problemstellung eigentlich dahinter steht, ist mir noch nicht klar.
>
> Ich weiß jetzt (hoffentlich) nur, wie man rechnerisch mit dem Integral umgehen muss, aber der tiefere Sinn, warum, ist mir noch verschlossen.
>
Dazu habe ich oben aus Sicht eines Ingenieurs schon ein bisschen was geschrieben.
> Immerhin habe ich eine Definition für Diskrete Faltungen gefunden:
> (f*g)(n) = [mm]\summe_{k=1}^{n}f(k)*g(n-k),[/mm]
> und daraus entnehme ich, wie man die einzelnen Glieder verknüpfen muss (also gegenläufig), ehe man sie bis n aufsummiert. So muss ich mir das im Integral wohl auch vorstellen?
>
Ja, das ist die diskrete Variante, hier dreht man eine der Folgen um.
> Herzlichen Gruß
> aha
>
>
>
>
>
>
>
>
> [mm]\le[/mm]
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 07.06.2012 | | Autor: | aha |
Danke für Deine Antwort, Infinit, Guten Tag!
Prima, mit der rechnerischen Seite kann ich - jedenfalls für die Beispiele bis jetzt - umgehen.
Trotzdem tauche wieder Fragen auf:
1.) Ich habe zum Üben auch nochmal die früher vorgeschlagene Faltung:
f(t) = 1+cos t, aber jetzt auf dem Intervall [mm] [-\pi ;\pi [/mm] ] mit g(t) = [mm] 1/(2\pi)*t, [/mm] (Intervallbreite [mm] 2\pi) [/mm] durchgeführt
(wobei mir nicht klar ist, welchen Definitionsbereich ich [mm] g(-t+\pi) [/mm] geben muss - ich würde meinen:am Anfang [mm] [-3\pi [/mm] ; [mm] -\pi [/mm] ]; aber wie ist es dann mit [mm] g(-t+\pi+x) [/mm] ? )
Integrand: [mm] J(t)=(1+cost)*((\bruch{1}{2\pi}(-t+\pi+x) [/mm] ... , weil die Überlappung schon bei x = [mm] -\pi [/mm] beginnt.
Die Integration wieder in zwei Schritten:
F1(x) = [mm] \integral_{-\pi}^{x}{J(t)dt} [/mm] für [mm] -\pi [/mm] < /= x < /= [mm] +\pi;
[/mm]
Wenn x über [mm] \pi [/mm] hinausgeht, verlässt die Fkt. g allmählich wieder den Überlappungsbereich. Ganz raus ist sie für x = [mm] 3\pi
[/mm]
( [mm] 3\pi [/mm] = [mm] \pi [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] , weil ich g über ein [mm] 2\pi [/mm] breites Intervall betrachte).
Das Integral ist jetzt
F2(x) = [mm] \integral_{x-2\pi}^{\pi}{J(t)dt} [/mm] für [mm] \pi [/mm] < /= x < /= [mm] +3\pi;
[/mm]
Die Faltung existiert also meiner Ansicht nach für [mm] [-\pi [/mm] ; [mm] 3\pi].
[/mm]
Siehe Bild:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Nun das Seltsame:
Obwohl doch die Funktionswewrtevon f zwischen 0 und 2 liegen, und die von g zwischwen 0 und 1, kommt trotzdem ein Integral heraus, das im Maximum einen Wert größer als 7 hat.
Wenn ich den Funktionen eine physikalische Bedeutung gebe, also für f beispielsweise die Lichtstrom-Verteilung über den Querschnitt eines Strahlenbündels, und fü´r g irgend eine Gewichtung, also hier einen faktor zwischen 0 und 1, - wieso ist dann die Summe (das Integral) der dx-Streifen-Produkte größer als die Gesamtfläche unter f (die ist = [mm] 2\pi [/mm] ) ?
Oder mache ich da irgend einen Denkfehler?
2.) Ich frage mich immer noch - über die mathematische Definition als eine bestimmte Operationm hinaus - nach dem physikalischen Sinn von Faltungen!
Gibt es anschauliche Beispiele, wo zwei physikalische oder technische Funktionen miteinander gefaltet werdwen, und das Ergebnis ist wiederum anschaulich oder leicht zu verstehen?
[Das Beispielmit dem Licht und dem Kollimator war z.B. sehr anschaulich, aber leider eben keoine Faltung, wie Du festgestellt hast, sonderen eine "Kreuzkorrelation", also eine andere mathematische Operationsvorschrift.]
3.) Leider ist mir wieder nicht gelungen, ein Bild hochzuladen.
Also:
Ich will ein Bild in den Text einfügen - wie muss ich das machen?
Erst schreibe ich
und dann ? plaziere ich dann die JPG-Datei direkt oder nach Leerstelle dahinter?
Und dann ? schließe ich dann mit ab?
Was bedeutet die Formulierung "attach:894185:1" zwischen dem img-Marken?
[Bild Nr. 2 (fehlt/gelöscht)]
Mal sehen, was passiert - - -
Wieder Fehlmeldung...
Herzlichen Gruß
aha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
ja, Deine Deutung zu den Grenzen des Faltungsintegrals ist richtig, wenn man die eine Funktion zwischen -Pi und Pi, die andere zwischen 0 und 2*Pi laufen lässt.
Das entsprechende Bildchen mit der gespiegelten und verschobenen Funktion g(t) habe ich mal hochgeladen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Noch ein Tipp zum Bilderhochladen.
An der Stelle, an der das Bild erscheinen soll, bringst Du zwei img-Marken an, dazwischen eine fortlaufende ganze positive Zahl von 1 ab. Bei fünf Bildern würde also im letzten Befehl eine 5 zwischen den Parametern stehen. Nach dem Absenden des Beitrags wirst Du dann gebeten, die Bilder hochzuladen, sie werden also nicht direkt eingefügt, sondern über den Platzhalter mit der Zahl angesprochen.
Zum Maximalwert kann ich erst mal nur sagen, weshalb solte dies nicht stimmen. Beide Funktionen sind positiv und überlappen sich maximal in einem Bereich der Breite 2 Pi. Hätten beide Funktionen den konstanten Wert 1, käme hier doch schon 2 Pi als Ergebnis raus. Dein hochgesetzter Cosinus liefert ja aber sogar Werte bis maximal 2.
Ein einfaches physikalische Beispiel für den Faltungssatz kann ich allerdings beim besten Willen nicht liefern.
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 20.06.2012 | | Autor: | aha |
Hallo Infinit, Guten Tag.
ich habe nochmal Fragen zu den Integrationsgrenzen und der "gespiegelten" Funktion:
Im Unterschied zu mir hast Du durch die Veränderungen im Argument die Funktion f verschoben, also 1+cos(t), [mm] 1+cos(t+\pi), 1+cos(t-3\pi) [/mm] ... und die Faltung mit g(t)=t durchgeführt.
Ich habe zur Ergänzung noch [mm] f(t)=1+cos(t-\pi); [/mm] g(t)=t genommen.
[die Definitionsbereiche schreibe ich der Einfachheit halber jetzt mal nicht mit.]
Die Ergebnisse der Faltungsintegrale mit dem Integranden
[mm] (1+cos(t+k*\pi) [/mm] )*(-t+x) hat für alle ganzen Zahlen k die gleiche Intervallbreite [mm] 4\pi, [/mm] und das Maximum hat jedesmal den Wert ca. 4.
(Übrigens hat die Fläche unter der Kurve von 1+cosx den Wert [mm] 2\pi, [/mm] da passt der Wert 4, weil jeder Differentialstreiffen der Breite dt mit einer pos. Zahl <1 multipliziert wird)
(Stimmt auch ungefähr überein mit einer groben Aufsummierung bei der Diskreten Faltung - komme ich später noch drauf.
Wenn ich aber umgekehrt die Funktion f mit f(t) = 1+cos(t) beibehalte und statt dessen mit verschieden verschobenen Funktionen g rechne, z.B.
g(t) = t + [mm] \pi; [/mm] t - [mm] \pi; [/mm] usw., dann erhalte ich jedesmal ein anderes Ergebnis, was das Maximum der verschiedenen Integrale betrifft; wobei allerdings die Intervallbreite zwischen zwei Nullstellen auch immer [mm] 4\pi [/mm] ist.
Das verstehe ich nicht.
Ich versuche jetzt mal, ein paar Bilder hochzuladen, woran man das sehen kann ... hoffentlich klappt es diesmal?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[url=1]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[url=2]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[url=3]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[url=4]
(Also in der Vorschau steht nun wieder: " <klammeraffe> [(Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht) ]" ) - was muss ich denn nur gernau machen?
Letzter Versuch: statt der Zahlen 1,2,3,4 zwischensetzen [url=1], [url=2] usw.)
Bild 1: das Max. der linken Fkt. ist fast doppelt so hoch wie das der rechten.
Frage: wie würde die "ungespiegelte" Fkt. g heißen?
g(t) = t [mm] -\pi [/mm] oder g(t) = t + [mm] \pi [/mm] ?
Sei f eine Funktion f(x+a); Wie lautet dann die für das Faltungsintegral zu bildende Funktion f_ ? f(-x+a) oder f(-x-a) ?
Bild 2:
ein ganz neuer Verlauf der integrierten Funktion, auch negative Funktionswerte;
Bild 3:
Lage wie Bild 4, aber Maximum ca. +7, wie linker Graph in Bild 1;
Bild 4:
Lage wie Bild 3, aber Maximum ca. +4, wie rechter Graph in Bild 1.
Vielleicht hat der Graph in Bild 2 damit zu tun, dass ich ja bei der Faltung die Definitonsbereiche nicht eingeschränkt habe?
(Ich sollte mich wohl mal um ein gutes Mathe-Programm kümmern...;
aber mir fällt es zugegebenermaßen schwer, mit den wirklich guten Programmen umzugehen, learning by doing ist alleine schwierig... und das handling nach meiner Erfahrung sehr gewöhnungsbedürftig...)
Ich würde aber gerne noch eine andere Frage mit Dir erörtern:
Um besser zu verstehen, was beim Falten eigentlich genau passiert, habe ich es mit diskreten Faltungen versucht, also mit Folgen.
Ich habe folgende Definition (wikipedia):
(f*g)(n) = [mm] \summe_{k \in D}^{} [/mm] f(k)*g(n-k).
Für zwei Folgen {f(N)} und {g(N)}, also beidemal N Gliedern,
habe ich für den ersten Teil der Faltung, das "Hineinschieben",
geschrieben:
[mm] F_{1}(n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(i)*g(n+1-i);
oder mit der üblichen Gliederbezeichnung : ... [mm] a_{i} [/mm] ...; ... [mm] b_{i} [/mm] ...
[mm] F_{1}(n) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n \le N} a_{i}* b_{n+1-i} [/mm] ,
und für das "Hinausschieben":
[mm] F_{2}(n) [/mm] = [mm] \summe_{i=n+1-N}^{N} [/mm] f(i)*g(n+1-i);
[mm] F_{2}(n) [/mm] = [mm] \summe_{i=n+1-N}^{N} a_{i}* b_{n+1-i} [/mm] ,
Der Index n-k in der Definition sogt dafür, dass die Zählung der Glieder der Folge {b} von hinten begonnen wird und mit den Gliedern von {a} richtig multipliziert wird; allerdings habe ich n+1 eingesetzt, damit auch wirklich die richtigen Glieder zusammentreffen. - Und: dies - das habe ich jetzt verstanden - wird beim Integral durch die "Spiegelung"
(die ja eigentlich keine ist - oder?) bewirkt...(aha).
Nun habe ich mit überlegt, dass ich ja die Funktionen f und g, also z.B. f(t)=1+cos(t) und g(t) = t , auch in lauter schmale [mm] \Deltat-Streifen [/mm] zerschneiden kann, wobei die Länge der Streifen den jeweil. Funktionswerten entspricht.
Diese Streifen bilden die Glieder von Folgen.
Jetzt muss ich also die Teilsummen berechnen, um die Funktionswerte F(n) der Faltung zu bekommen.
Ich hab's dann mit 100 Streifen, also N=100, auf dem Intervall | [mm] 2\pi [/mm] | probiert und siehe da - bekam ich für 10 Funktionswerte F(10), F(20) usw. sowohl für [mm] F_{1}(n) [/mm] als auch für [mm] F_{2}(n) [/mm] Werte, die eine Verteilung proportional zu dem Faltungsintegral
[mm] \integral_{-\pi}^{x}{/1+cos(t-\pi)*1/2\pi*(-t+x) dx} [/mm] usw. ergaben - mit kleinen Abweichungen!
sihe Bild 5:
[Dateianhang nicht öffentlich]
oder muss es so heißen? : " .... [url=5]..."
[url=5]
Also die numerische Faltung klappt - und ist für mich "Anfänger" besser zu verstehen als das Faltungsintegral, bei dem ich immer noch mit den Grenzen kämpfe ...
Ich habe ein Bildchen dazu gemacht, wie schematisch zwei Folgen durch diese Rechenvorschrift "gefaltet" werden:
[url=6] .
Wenn ich das so richtig sehe, dann hätte ich die einzelnen Funktionswerte des Faltungsintegrals als die Summen von durch diese spezielle Multiplikationsverknüpfung von infinitesimalen Folgengliedern entstandenen Produkte zu verstehen.
Frage nur, wieso treten bei nur positiven Gliedern im Faltungsintegral u.U. auch negative Summen auf - siehe Bild 2?
Ich kann es mir nur so erklären, dass ich da beim Integrieren auch negative Differentiale erwischt habe --- siehe Definitionsbereiche ....?
Übrigens werden auch bei der Binomialverteilung die Faktoren der Folgenglieder in dieser gegenläufigen Weise verknüpft...
Da scheint es einen Zusammenhang zu geben ?
Lernbedarf habe ich leider immer noch bei der Frage nach den praktischen Anwendungen, die es ja in vielen Bereichen gibt, zu denen ich aber wahrscheinlich ohne spezielle Vorlesungen oder gute Literatur keinen Zugang gewinne?
Herzlichen Gruß
aha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: cdr) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 6 (Typ: cdr) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 7 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo aha,
was Du hier sagst, stimmt schon, die Abbildung in die dann berrechneten Integrale kann ich aber nicht nachvollziehen.
Für die beiden Funktionen
$ g(x) = 1 + [mm] \cos(x-k \pi) [/mm] $ und
$ h(x) = x $ kommt man für eine Verschiebung um x (eine Funktion wird nur verschoben) entweder auf den Integrandensatz
$ g(-t+x)= 1 + [mm] \cos(-t [/mm] + x - k [mm] \pi)$ [/mm] und $ h(t) = t $ oder auf
$ g(t) = 1 + [mm] \cos(t [/mm] - k [mm] \pi) [/mm] $ und $ h(-t+x) = - t + x $.
Keine dieser Funktionen sehe ich in der Bezeichnung zu den Integralergebnissen, die Du hingemalt hast.
Die Faltung lässt sich auch diskretisieren, ja das geht und es ist dann eine Annäherung an die Ergebnisse des Faltungsintegrals.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 01.06.2012 | | Autor: | aha |
Lieber matux,
danke für den Hinweis. Ich werde darauf achten, aber ich habe i.a. keinen Termindruck mit meinem Problem.
Aber ein anderes, bei dem Du mir vielleicht helfen kannst:
Wie kann ich eine Zeichnung, JPG-Datei zum Beispiel, in meinen Text einbinden?
Ich habe es versucht, aber vielleicht war sie zu groß?
Und ich weiß noch nicht einmal, wie man eine JPG-Datei kleiner macht, damit sie passt.
Oder klappt es, wenn man sie vorher in eine PDF-Datei umwandelt?
Freundliche Gruße
aha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 01.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
Deinen langen Text kann ich im Moment nicht beantworten. Eine Kommunikation mit Matux ist sehr einseitig. Das ist in Automat.
Um ein Bild einzubinden, musst Du auf Bild-Anhang klicken. Dann passiert scheinbar erst einmal gar nichts. Nur so ein bisschen komischer Text wird in Deine Frage eingefügt. Nachdem Du die Frage abgeschickt hast, geht es los. Dann kommen die ganzen Fragen zu dem Bild, bis es schließlich hochgeladen wird.
Du solltest ein Bild vor dem Hochladen auf eine Größe von nicht mehr als etwa 800 mal 600 Pixeln bringen. Das musst Du dem Programm beibringen, mit dem Du das Bild erstellst. Genaueres kann ich Dir nicht sagen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Sa 02.06.2012 | | Autor: | matux |
Hallo chrisno,
> Deinen langen Text kann ich im Moment nicht beantworten.
> Eine Kommunikation mit Matux ist sehr einseitig. Das ist in
> Automat.
![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Herzliche Grüße
matux
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 So 03.06.2012 | | Autor: | aha |
Hallo ChrisNo,
Danke für den Tip, ich werde ihn demnächst ausprobieren - momentan grübele ich noch immer über der Faltung - wie Du aus meinen Texten ersehen kannst.
Gruß aha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Sa 02.06.2012 | | Autor: | matux |
Hallo aha,
> danke für den Hinweis. Ich werde darauf achten, aber ich
> habe i.a. keinen Termindruck mit meinem Problem.
>
> Aber ein anderes, bei dem Du mir vielleicht helfen kannst:
>
> Wie kann ich eine Zeichnung, JPG-Datei zum Beispiel, in
> meinen Text einbinden?
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1. Beim Schreiben deines Beitrags füge den folgenden Text ein [img$ $]1[/img] (für weitere Dateien entsprechend [img$ $]2[/img], [img$ $]3[/img],...)
Diese Markierungen sind Platzhalter für die Bilder.
Wenn du deinen Beitrag fertig geschrieben und auf "Senden" geklickst hast, wirst du automatisch auf die Seite geführt, wo die Dateien hochgeladen werden können.
2. Nach dem Senden deines Beitrags klicke auf den Link "Dateianhänge: hochladen und verwalten", der am unteren Ende jedes deiner Beiträge angezeigt wird.
> Ich habe es versucht, aber vielleicht war sie zu groß?
Wenn keine entsprechende Fehlermeldung angezeigt wurde, dann war sie das nicht.
Bei sehr großen Dateien dauert allerdings das Hochladen in den MatheRaum lange
> Und ich weiß noch nicht einmal, wie man eine JPG-Datei
> kleiner macht, damit sie passt.
> Oder klappt es, wenn man sie vorher in eine PDF-Datei
> umwandelt?
Das Verkleinern von Bilddateien ist mit fast jedem Bildbearbeitungsprogramm möglich. Normalerweise sind bereits einige (einfache) auf deinem Computer vorinstalliert (da ich nicht weiß, welches Betriebssystem (Linux, Mac, Windows etc.) kann ich dir keine konkreten Programme nennen).
Im Zweifel lade die Datei einfach unverändert hoch. Wenn du die zweite oben angesprochene Möglichkeit dabei nutzt, wird das Bild auch nicht automatisch in deinem Forenbeitrag angezeigt, sondern der Betrachter muss selbst auf einen Link klicken. Da stören dann sehr große Bilddateien auch nicht so stark.
Viel Spaß im Forum wünscht
matux 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Passt vllt dazu https://matheraum.de/read?t=892076
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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Sagt dir der Begriff Fundamentallösung etwas ?
Die sogenannten Fundamenteallösungen spielen in der Lösung der Poisson-Gleichung eine zentrale Rolle. Betrachten wir mal folgende Aufgabenstellung (Ich behandle den Begriff mal ohne Betrachtung von Randbedingungen):
Sei [mm]L[/mm] ein linearer gewöhnlicher Differentialoperator k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Gesucht ist die eine Fundamentallösung [mm]U(x)[/mm], d.h. eine Funktion [mm]U[/mm] mit der Eigenschaft [mm]LU=\delta[/mm] (Dirac'sche Delta-Distribution sollte man sich vorher zum Gemüte führen). Haben wir diese Aufgabe gelöst, so können wir die Lösung von [mm]Lu=f[/mm] leicht angeben. Es gilt nämlich folgende Lösungsformel mittels Faltung:
[mm]u(x)=(U*f)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{U(x-\xi)f(\xi) d\xi}[/mm]
Formal rechnet man tatsächlich nach, dass gilt:
[mm]Lu(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{LU(x-\xi)f(\xi) d\xi}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-\xi)f(\xi) d\xi}=\limes_{\epsilon\rightarrow0} \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta_{\epsilon}(x-\xi)f(\xi) d\xi}=[/mm]
[mm]=\limes_{\epsilon\rightarrow0} \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta_{\epsilon}(\xi -x)f(\xi) d\xi}= \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(\xi -x)f(\xi) d\xi}=f(x)[/mm]
Diese Gestalt der Lösung kann in so gedeutet Werden, dass [mm]u(x)[/mm] als lineare Überlagerung der Einflüsse kontinuierlich verteilter Quellen (gegeben durch [mm]f(x)[/mm]) mittels eines Faltungsintegrals dargestellt wird.
Anschließend würde ich mir das "Dirichlet-Problem" (für die Laplace-Gleichung) ansehen, sowie "Wärmeleitung im unendlichen Stab".
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
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