Faltung - Grenzen Exp-Vertlng. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 18.02.2008 | | Autor: | mexodus |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Dichtefunktion der ZV Z:=X+Y durch die Faltungsformel.
X und Y seien Exponentialverteilt, mit unterschiedlichen Parametern :
X~Exp(l) Y~Exp(m) |
Diese Aufgabe wurde bereits in diesem Forum gelöst:
https://matheraum.de/read?i=291262.
Meine Frage betrifft die Grenzen: Warum integriere ich von 0 bis z , da eigentlich die Funktion von 1 bis unendlich definiert ist.
Bin auf das Forum durch Recherche gestoßen und finde es echt gut, hoffe ihr seht es mir nach nicht den Formeleditor verwendet zu haben, da es ja nicht wirklich nötig war.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 18.02.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin mexodus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Meine Frage betrifft die Grenzen: Warum integriere ich von
> 0 bis z , da eigentlich die Funktion von 1 bis unendlich
> definiert ist.
>
Das zweite Integral schreibe ich mal ausfuehrlicher:
[mm] \begin{matrix}
f_{X+Y}(z)
&=&\int_{\IR} f_X(u) f_y(z-u) du \\
&=&1_{[0,\infty)}(z) \lambda \mu e^{-z \mu} \int_0^\infty e^{(\mu -
\lambda) u}1_{[0,\infty)}(z-u) du \\
\end{matrix}
[/mm]
Es ist [mm] $1_{[0,\infty)}(z-u)=1\iff u\le [/mm] z$. Das erklaert die Obergrenze.
Bitte bedenke, dass die obige Darstellung erforderlich macht, dass
X und Y unabhaengig sind. Steht nicht in der Aufgabenstellung!
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 18.02.2008 | | Autor: | mexodus |
Vielen Dank ertsmal, echt super Forum hier:
Eine kleine Frage hätte ich noch: Warum bezieht sich die Indikatorfunktion auf (z-u) , ich such da für mich noch nach einer Begründung, kann aber keine finden ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 18.02.2008 | | Autor: | luis52 |
> Eine kleine Frage hätte ich noch: Warum bezieht sich die
> Indikatorfunktion auf (z-u) , ich such da für mich noch
> nach einer Begründung, kann aber keine finden ...
>
Die Dichte von Y lautet: [mm] $f_y(y)=\mu\exp[-\mu y]1_{[0,\infty)}(y)$.
[/mm]
Mithin ist [mm] $f_y(z-u)=\mu\exp[-\mu (z-u)]1_{[0,\infty)}(z-u)$ [/mm] ...
vg Luis
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