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| Aufgabe | | Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$. Bestimmen Sie jeweils die Funktion $h(x)$ mit $h(x) = f(x) [mm] \* [/mm] g(x)$. |
Hallo zusammen,
ich dachte eigentlich die Faltung ansich verstanden zu haben, bin jetzt aber aufgrund einer Musterlösung zu einer Übungsaufgabe ein wenig verunsichert. Es geht um die zweite Teilaufgabe, also um Abbildung 2. Die beiden Funktionen habe ich wie folgt abschnittsweise definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} 4, & -4 \le x \le 4 \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
und
[mm] g(x)=\begin{cases} x + 3, & -3 \le x \le 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Anschließend habe ich die Funktionen bezüglich ihrer Achsenbeschriftung und Spiegelung (bei f passiert da nicht viel) nach Abbildung 3 vorbereitet.
Ich habe - und hier kommt die Abweichung mit der Musterlösung - insgesamt die folgenden fünf Fälle (Zeitintervalle) unterschieden:
[mm] \begin{matrix}
Fall 1: & -\infty & \le & x & \le & -7 \\
Fall 2: & -7 & \le & x & \le & -4 \\
Fall 3: & -4 & \le & x & \le & 1 \\
Fall 4: & 1 & \le & x & \le & 4 \\
Fall 5: & 4 & \le & x & \le & \infty
\end{matrix}
[/mm]
Ist daran was falsch? (Und wenn ja, was?) In der Musterlösung werden sechs bzw. sieben Fälle unterschieden, die ich bei Bedarf auch gerne hier aufzeigen kann.
Die Abbildungen findet Ihr im Anhang.
Herzlichen Dank für Eure Zeit.
Viele Grüße
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils zwei Funktionen [mm]f(x)[/mm]
> und [mm]g(x)[/mm]. Bestimmen Sie jeweils die Funktion [mm]h(x)[/mm] mit [mm]h(x) = f(x) \* g(x)[/mm].
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> Hallo zusammen,
>
> ich dachte eigentlich die Faltung ansich verstanden zu
> haben, bin jetzt aber aufgrund einer Musterlösung zu einer
> Übungsaufgabe ein wenig verunsichert. Es geht um die
> zweite Teilaufgabe, also um Abbildung 2. Die beiden
> Funktionen habe ich wie folgt abschnittsweise definiert:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 4, & -4 \le x \le 4 \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> und
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} x + 3, & -3 \le x \le 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Anschließend habe ich die Funktionen bezüglich ihrer
> Achsenbeschriftung und Spiegelung (bei f passiert da nicht
> viel) nach Abbildung 3 vorbereitet.
>
> Ich habe - und hier kommt die Abweichung mit der
> Musterlösung - insgesamt die folgenden fünf Fälle
> (Zeitintervalle) unterschieden:
>
> [mm]\begin{matrix}
Fall 1: & -\infty & \le & x & \le & -7 \\
Fall 2: & -7 & \le & x & \le & -4 \\
Fall 3: & -4 & \le & x & \le & 1 \\
Fall 4: & 1 & \le & x & \le & 4 \\
Fall 5: & 4 & \le & x & \le & \infty
\end{matrix}[/mm]
hallo,
das sieht doch gut aus. 2 fälle, (erster und letzter) in denen keine überlappung stattfindet.
2 fälle, in denen ein zuwachs stattfindet (2. und 4. fall),
und ein fall, in dem signal g komplett in f liegt (konstant)
>
> Ist daran was falsch? (Und wenn ja, was?) In der
> Musterlösung werden sechs bzw. sieben Fälle
> unterschieden, die ich bei Bedarf auch gerne hier aufzeigen
> kann.
7?! wie sehen die denn aus
> Die Abbildungen findet Ihr im Anhang.
>
> Herzlichen Dank für Eure Zeit.
>
> Viele Grüße
>
> Andreas
gruß tee
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Ich habe gerade gesehen, dass sich die Musterlösung auf eine leicht abgewandelte Funktion $g(x)$ bezieht, mit der folgenden Definition:
[mm] g(x)=\begin{cases} 3 + x, & -3 \le x \le 0 \\ 3 - x, & 0 \le x \le 3 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Hierbei handelt es sich wohl um eine etwas ältere Version des Übungsblatts, wobei die Aufteilung in sieben Fälle hier auch recht sinnvoll erscheint.
Also hat sich meine Frage geklärt. Der Vollständikeit halber werde ich an dieser Stelle noch meine Lösung zeigen, mit der Bitte auf eventuelle Korrektur.
Fall 1: [mm] -\infty \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -7
[mm] \Rightarrow h_1(x) [/mm] = 0
Fall 2: -7 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -4
[mm] \begin{matrix}
\Rightarrow h_2(x) &=& \integral_{-3}^{x+4}{4 * (\tau + 3) d\tau} \\
\ &=& \integral_{-3}^{x+4}{4\tau + 12 d\tau} \\
\ &=& \left[2\tau^{2} + 12\tau\right]_{-3}^{x+4} \\
\ &=& \ldots \\
\ &=& 2x^{2} + 28x + 98
\end{matrix}
[/mm]
Fall 3: -4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
[mm] \begin{matrix}
\Rightarrow h_3(x) &=& \integral_{-3}^{0}{4\tau + 12 d\tau} \\
\ &=& \ldots \\
\ &=& 18
\end{matrix}
[/mm]
Fall 4: 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4
[mm] \begin{matrix}
\Rightarrow h_4(x) &=& \integral_{x-4}^{0}{4\tau + 12 d\tau} \\
\ &=& \ldots \\
\ &=& -2x^2 + 4x + 16
\end{matrix}
[/mm]
Fall 5: 4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow h_5(x) [/mm] = 0
Somit ergibt sich für $h(x)$ insgesamt:
[mm] h(x)=\begin{cases}
2x^2 + 28x + 98, & -7 \le x \le -4 \\
18, & -4 \le x \le 1 \\
-2x^2 + 4x + 16, & 1 \le x \le 4 \\
0, & \mbox{sonst}
\end{cases}
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Viele Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andreas,
das sieht gut aus, prima.
Viele Grüße,
Infinit
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