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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen alle zusammen!
Ich beschäftige mich zur Zeit mit der Fourier - Analysis und gerade im Moment mit dem Begriff der Faltung.
Die Definition der Faltung ist mir bekannt, jedoch fehlt mir das Verständnis, was dort mit der Funktion passiert. Also, wenn ich zwei Funktionen
[mm] f,g \in L^1( \mathbbR^n ) [/mm] habe, dann beschreibt die Faltung ja eine bilineare Abbildung [mm] \* : L^1 (\mathbb R^n) \times L^1 (\mathbb R^n ) \to L^1 ( \mathbb R^n ) [/mm].
Aber was macht denn die Faltung mit diesen beiden Funktionen und wofür benötigt man die Faltung?
Unter anderen habe ich hier auch ein Beispiel, bei welchen ich einige Zwischenschritte nicht vollkommen nachvollziehen kann.
[mm] n = 1 , f = \chi_{ \left[0,1 \right] } [/mm]
[mm] (f \* f) (y) = \integral_{ - \infty}^\infty f(x) f(y-x) dx [/mm]
[mm]= \integral_0^1 f(y-x) dx = - \integral_{y}^{y-1} f(t) dt [/mm]
[mm] = \integral_{y -1}^{y} f(t) dt [/mm]
[mm] =\left\{\begin{matrix}
y, & \mbox{für } 0 \le y \le 1 \\
2 - y, & \mbox{für } 1 \le y \le 2 \\
0, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.
[/mm]
1. Frage: Warum steht vorne [mm] (f \* f) (y) [/mm] etwas was abhängig ist von y und direkt dahinter in dem Integral [mm] \integral_{ - \infty}^\infty f(x) f(y-x) dx [/mm] das dx ?
2. Frage: Wie kommt man auf die neuen Integralgrenzen bei [mm] - \integral_{y}^{y-1} f(t) dt [/mm] . Ich habe es mit Substitution probiert, jedoch bekomme ich was anderes :-( ...
3. Frage: Bei dem letzten Gleichheitszeichen stehe ich komplett auf dem Schlauch :-(. Wie kommt man zu dieser Fallunterscheidung?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Do 07.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Guten Morgen alle zusammen!
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> Ich beschäftige mich zur Zeit mit der Fourier - Analysis
> und gerade im Moment mit dem Begriff der Faltung.
>
> Die Definition der Faltung ist mir bekannt, jedoch fehlt
> mir das Verständnis, was dort mit der Funktion passiert.
> Also, wenn ich zwei Funktionen
> [mm]f,g \in L^1( \mathbbR^n )[/mm] habe, dann beschreibt die Faltung
> ja eine bilineare Abbildung [mm]\* : L^1 (\mathbb R^n) \times L^1 (\mathbb R^n ) \to L^1 ( \mathbb R^n ) [/mm].
>
> Aber was macht denn die Faltung mit diesen beiden
> Funktionen und wofür benötigt man die Faltung?
>
Da liest du dir am besten irgendwo (z.B. in 'nem Buch) das Kapitel darüber durch. Könntest auch erst bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki nachlesen.
> Unter anderen habe ich hier auch ein Beispiel, bei welchen
> ich einige Zwischenschritte nicht vollkommen nachvollziehen
> kann.
>
> [mm]n = 1 , f = \chi_{ \left[0,1 \right] }[/mm]
>
> [mm](f \* f) (y) = \integral_{ - \infty}^\infty f(x) f(y-x) dx[/mm]
>
> [mm]= \integral_0^1 f(y-x) dx = - \integral_{y}^{y-1} f(t) dt[/mm]
>
> [mm]= \integral_{y -1}^{y} f(t) dt[/mm]
>
> [mm]=\left\{\begin{matrix}
y, & \mbox{für } 0 \le y \le 1 \\
2 - y, & \mbox{für } 1 \le y \le 2 \\
0, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.
[/mm]
>
>
>
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> 1. Frage: Warum steht vorne [mm](f \* f) (y)[/mm] etwas was abhängig
> ist von y und direkt dahinter in dem Integral [mm]\integral_{ - \infty}^\infty f(x) f(y-x) dx[/mm]
> das dx ?
Weil das Integral nach x integriert wird. Das y steht ja immer noch drin im Integral, ist aber sozusagen wie eine Konstante dort zu behandeln.
>
> 2. Frage: Wie kommt man auf die neuen Integralgrenzen bei
> [mm]- \integral_{y}^{y-1} f(t) dt[/mm] . Ich habe es mit
> Substitution probiert, jedoch bekomme ich was anderes :-(
> ...
>
Wenn du bei f(y-x) für das x (weil ja nach x integriert wird) 0 einsetzt, dann haste f(y), und wenn du für das x eins einsetzt, dann haste f(y-1). Und weil du das x von 0 bis eins integrierst, integrierst du also sozusagen von f(y) nach f(y-1) (eine andere Sache ist das Minus vor dem Integral - da kannste sagen, dass du ja "rückwärts" von f(y) nach f(y-1) auf der Zahlengerade integrierst).
Oder du versuchst t:=y-x zu substituieren.
> 3. Frage: Bei dem letzten Gleichheitszeichen stehe ich
> komplett auf dem Schlauch :-(. Wie kommt man zu dieser
> Fallunterscheidung?
Mal' dir einfach ein Bildchen, dann wird alles sonnenklar ^^
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
> Viele Grüße
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Do 07.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich habe eine schöne graphische Darstellung von der Faltung gefunden und nun ist mir auch klar, was da ungefähr passiert. Was meine Substitution angent, habe ich einen Fehler gemacht und deswegen habe ich das ganze nicht nachvollziehen können.
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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