Fallvorgang mit Reibung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Beziehung v(t)=A+B*exp(-at) bei geeigneter Wahl der Konstanten A, B und a eine Lösung der Differentialgleichung darstellt. Wie kann eine Anfangsgeschwindigkeit v0 dabei berücksichtigt werden? Geben sie das Ergebnis v(t) als Funktion mit den Größen v0 und ve an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Vorgang wird mit der Gleichung dv/dt=g-b*v
ve ist aus der ersten Teilaufgabe bekannt und ist g/b
leite ich v(t) ab bekomme ich v'(t)=-a*B*exp(-at)
v(0)=A+B also v0=A+B
setze ich jetzt v(t) und v'(t) in die DGL ein erhalte ich
-a*b*exp(-at)=g-b*A+B*exp(-at)
Meine Frage wäre jetzt wie ich die Konstanten A,B,a genau bestimmen kann? Komme da jetzt einfach nicht mehr weiter obwohl man mir schon gesagt hat man solle das mit Koeffizientenvergleich machen weiß ich leider nicht wie man das anstellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Mi 13.12.2017 | | Autor: | chrisno |
> ....
> Der Vorgang wird mit der Gleichung dv/dt=g-b*v
Also [mm] $\dot{v}(t)=g-bv(t)$
[/mm]
>
> ve ist aus der ersten Teilaufgabe bekannt und ist g/b
>
> leite ich v(t) ab bekomme ich v'(t)=-a*B*exp(-at)
[mm] $\dot{v}(t)=-aBe^{-at}$
[/mm]
>
> v(0)=A+B also v0=A+B
>
> setze ich jetzt v(t) und v'(t) in die DGL ein erhalte ich
>
> -a*b*exp(-at)=g-b*A+B*exp(-at)
ein Fehler
[mm] $-aBe^{-at}=g-bA\red{-b}Be^{-at} [/mm] $
>
> Meine Frage wäre jetzt wie ich die Konstanten A,B,a genau
> bestimmen kann? Komme da jetzt einfach nicht mehr weiter
> obwohl man mir schon gesagt hat man solle das mit
> Koeffizientenvergleich machen weiß ich leider nicht wie
> man das anstellt.
Damit immer auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens auch das Gleiche steht, muss $g-bA$ immer Null sein.
Damit bekommst Du A = ..
Auch bei der Exponentialfunktion müssen die beiden Vorfaktoren gleich sein. Also a = b.
Nun fehlt noch B. Da kannst Du [mm] $v_0$ [/mm] ins Spiel bringen.
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Danke chrisno für die schnelle Antwort jetzt ist auch alles klar.
Da sieht man mal wie es an einem kleinen Fehler scheitern kann.
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