Fallunterscheidung bei Betrag < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:49 Di 14.12.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
ich habe folgende Aufgabe
f(x) = |x-1| + |x-2|
Ich soll jetzt an den Stellen 1 und 2 auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit
prüfen.
wie mache ich jetzt die Fallunterscheidung damit ich errechnen kann
ob f ´l = f´r an den Stellen 1 und 2.
Bei einem Betragszeichen ist es klar :
Beispiel :
f(x) = |- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - 1 |
für x [mm] \le [/mm] (-3) : [mm] -\bruch{1}{3}x [/mm] - 1
für x > (-3) : [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] + 1
f´l = l [mm] \limes_{x\rightarrow (-3)} \bruch{- \bruch{1}{3}x - 1 - 0}{x+3} [/mm]
= - [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
f´r = r [mm] \limes_{x\rightarrow (-3)} \bruch{ \bruch{1}{3}x + 1 - 0}{x+3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
f´l [mm] \not= [/mm] f´r [mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht differenzierbar an der Stelle (-3)
aber wie mache ich es bei obiger Aufgabe :
f(x) = |x-1|+|x-2|
Meine Denkansätze :
Fall 1 : wenn x < 1 : -x + 1 - x+2 = -2x+3
Fall 2 : wenn x [mm] \ge [/mm] 2 : x - 1 + x - 2 = 2x - 3
Fall 3 : wenn x < 2 [mm] \ge [/mm] 1 : x - 1 - x + 2 = 1
f´ ( 1 ) Fall 1 = [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] [ [mm] \bruch{-2x + 2}{ x - 1} [/mm] = -2
f´ (1) Fall 2 = [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] [ [mm] \bruch{2x - 2}{x - 1} [/mm] ] = 2
f´ (1) Fall 3 = [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] [ [mm] \bruch{0}{x - 1} [/mm] ] = 0
Ich habe mir den Graphen der Funktion am Funktionsgraphen-plotter angeschaut und kann ganz klar erkennen das f´l = -2 un f´r = 0
an der Stelle 1 sind , somit also nicht differenzierbar an der Stelle 1
Hier wäre ja Fall 3 = f´r , was ja auch logisch erscheint weil die
Tangente rechts an 1 ja wie in Fall 3 beschrieben < 2 [mm] \ge [/mm] 1 ist
Fall 1 = f´l , was auch logisch erscheint , da die Tangente links an 1
ja < 1 ist.
Stelle 2
f´(2) Fall 1 = [mm] \limes_{x\rightarrow 2} \bruch{-2x + 4}{x - 2} [/mm] = -2
f´(2) Fall 2 = [mm] \limes_{x\rightarrow 2} \bruch{2x - 4}{x - 2} [/mm] = 2
f´(2) Fall 3 = [mm] \limes_{x\rightarrow 2} \bruch{0}{x - 2} [/mm] = 0
Am Graph erkennbar : f´l = 0 und f´r = 2 an der Stelle 2
Fall 3 wäre dann = f´l , was auch logisch erscheint , da die Tangente
links an die Stelle 2 ja wie in Fall 3 beschrieben < 2 [mm] \ge [/mm] 1 ist
Fall 2 wäre dann = f´r , was auch wiederum logisch erscheint , da die Tangente rechts an die Stelle 2 [mm] \ge [/mm] 2 ist .
Soweit meine Überlegungen . Ich denke das war alles gar nicht mal so falsch , wie ist es mit der Richtigkeit , mit der mathematischen Genauigkeit meiner Aussagen .
Vielen Dank
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 14.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo TommyLee,
das sieht doch alles ganz gut (und richtig!) aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !!
An der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 1$ ist der Fall 2 überflüssig, so wie Fall 1 bei [mm] $x_0 [/mm] = 2$, da Du ja jeweils nur die Umgebungen der zu untersuchenden Stellen untersuchst.
> Fall 1 : wenn x < 1 : -x + 1 - x+2 = -2x+3
>
> Fall 2 : wenn x [mm]\ge[/mm] 2 : x - 1 + x - 2 = 2x - 3
>
> Fall 3 : wenn x < 2 [mm]\ge[/mm] 1 : x - 1 - x + 2 = 1
Vorsicht bei dieser Schreibweise mit umgekehrten Ungleichheitszeichen innerhalb einer Zeile. Besser so: $1 [mm] \le [/mm] x < 2$ !!
Der Nachweis der Stetigkeit an den beiden genannten Stellen war wohl nicht das Problem, oder?
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 14.12.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo Loddar
brauche ich denn die Fallunterscheidung für die Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] |x-1| + |x-2| = 1
da |x-1| konvergiert bei x gegen 1 gegen 0
|x-2| konvergiert bei x gegen 2 gegen 1
Ist es hier nicht offentsichtlich , daß immer gilt :
[mm] \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] f(x0)
Aber in der Mathematik ist es ja so eine Sache mit der Offensichtlichkeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Di 14.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> brauche ich denn die Fallunterscheidung für die
> Stetigkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] |x-1| + |x-2| = 1
Wenn Du die Stetigkeit von y = |x| voraussetzt: Nein.
Du kombinierst (addierst) ja dann nur stetige (Teil-)Funktionen.
> da
> |x-1| konvergiert bei x gegen 1 gegen 0
> |x-2| konvergiert bei x gegen 2 gegen 1
???
> Ist es hier nicht offentsichtlich , daß immer gilt :
> [mm]\limes_{x\rightarrow x0}[/mm] f(x0)
siehe oben (Stetigeit von y = |x|).
Loddar
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